例谈二次函数在闭区间上的最值问题

[浅谈几类特殊函数的性质及应用]想必大家对数学函数都不陌生，但是有几类特殊的函数大家认识吗?下面就跟小编一起来看看这几类特殊函数的性质及应用吧! 【摘要】本文将对数学分析中特殊函数，诸如伽玛函数、贝...+阅读

二次函数是高中数学中最基本也最重要的内容之一，而二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的继续，随着区间的确定或变化，以及系数中参变数的变化，它又成为高考数学的热点.

一、求定二次函数在定区间上的最值

当二次函数的区间和对称轴都确定时，要将函数式配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值.

【例1】已知2x23x，求函数f(x)=x2-x+1的最值.

解:由已知2x23x，可得0x32，即函数f(x)是定义在区间[0，32]上的二次函数，将二次函数配方得f(x)=(x-12)2+34，其图象开口向上，且对称轴方程x=12[0，32]，故f(x)?max=f(32)=74，f(x)?min=f(12)=34.

二、求动二次函数在定区间上的最值

当二次函数的区间确定而对称轴变化时，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分别讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解.

【例2】已知二次函数f(x)=ax2+4ax+a2-1在区间[-4，1]上的最大值是5，求实数a的值.

解:将二次函数配方得f(x)=a(x+2)2+a2-4a-1，其对称轴方程为x=-2，顶点坐标为(-2，a2-4a-1)，图象开口方向由a决定，很明显，其顶点横坐标在区间[-4，1]上.若a0，则函数图象开口向下，当x=-2时，函数取得最大值5，即f(-2)=a2-4a-1=5，解得a=2-10(a=2+10舍去);若a0，则函数图象开口向上，当x=1时，函数取得最大值5，即f(1)=5a+a2-1=5，解得a=1(a=-6舍去).综上讨论，函数f(x)在区间[-4，1]上取得最大值5时，a=2-10或a=1.

三、求定二次函数在动区间上的最值

当二次函数的对称轴确定而区间在变化时，只需对动区间能否包含抛物线的顶点的横坐标进行分类讨论.

【例3】已知函数f(x)=-x2+8x，求f(x)在区间[t，t+1]上的最大值g(t).

解:函数f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16，其对称轴方程为x=4，顶点坐标为(4，16)，其图象开口向下.

(1)当顶点横坐标在区间[t，t+1]右侧时，有t+14，即t3，当x=t+1时，g(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7.

(2)当顶点横坐标在区间[t，t+1]上时，有t4t+1，即3t4，当x=4时，g(t)=f(4)=16.

(3)当顶点横坐标在区间[t，t+1]左侧时，有t4，当x=t时，g(t)=f(t)=-t2+8t.

综上，g(t)=-t2+6t+7，当t3时;16，当3t4时;-t2+8t，当t4时.

四、求动二次函数在动区间上的最值

当二次函数的区间和对称轴均在变化时，亦可根据对称轴在区间的左、右两侧及穿过区间三种情况讨论，并结合其图形和单调性处理.

【例4】已知y2=4a(x-a)(a0)，且当xa时，S=(x-3)2+y2的最小值为4，求参数a的值.

解:将y2=4a(x-a)代入S的表达式得S=(x-3)2+4a(x-a)=[x-(3-2a)]2+12a-8a2.