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解析几何中求参数取值范围的方法

06月22日 编辑 fanwen51.com

解析几何中求参数取值范围的方法

近几年来,与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中,这类问题不仅涉及知识面广,综合性大,应用性强,而且情景新颖,能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质,是历年来高考命题的热点和重点。

学生在处理这类问题时,往往抓不住问题关键,无法有效地解答,这类问题求解的关键在于根据题意,构造相关的不等式,然后求出不等式的解。

那么,如何构造不等式呢?本文介绍几种常见的方法:

一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式

曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 =

1上的点P(x,y)满足-axa,-byb,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.

例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (ab0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 ,

0)

求证:-a2-b2a x0 a2-b2a

分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.

解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 ?x2+x1

y2+y1

又∵线段AB的垂直平分线方程为

y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )

令y=0得 x0=x1+x22 ?a2-b2a2

又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点

-ax1a, -ax2a, x1x2 以及-ax1+x22 a

-a2-b2a x0 a2-b2a

例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OF?FQ=1,若 12 S2 ,求向量OF与FQ的夹角的取值范围.

分析:须通过题中条件建立夹角与变量S的关系,利用S的范围解题.

解: 依题意有

tan=2S

∵12 S2 1 tan4

又∵0

4 p

例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ||a|,则a的取值范围是 ( )

A a0 B a2 C 0a2 D 02 p

分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ||a| 求解.

解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| a

得y02+( y024 -a)2a2 即y02(y02+16-8a) 0

∵y020 (y02+16-8a) 0即a2+ y028 恒成立

又∵ y020

而 2+ y028 最小值为2 a2 选( B )

二、利用判别式构造不等式

在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解.

例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是 ( )

A [-12 ,12 ] B [-2,2] C [-1,1] D [-4,4]

分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△0

解:依题意知Q坐标为(-2,0) , 则直线L的方程为y = k(x+2)

由 得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0

∵直线L与抛物线有公共点

△0 即k21 解得-1k1 故选 (C)

例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B,求实数k的取值范围.

分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两点,则△0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.

解:由 得 (k2-2)x2 +2kx+2 = 0

∵直线与双曲线的右支交于不同两点,则

解得 -2-2 p

三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式

曲线把坐标平面分成三个区域,若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系:若P在曲线上,则f(x0,y0)=0;若P在曲线内,则f(x0,y0)0;若p在曲线外,则f(x0,y0)0;可见,平面内曲线与点均满足一定的关系。

故可用这些关系来构造不等式解题.

例6已知椭圆2x2 + y2 = a2 (a0)与连结两点A(1,2)、B(2,3)的线段没有公共点,求实数a的取值范围.

分析:结合点A,B及椭圆位置,可得当AB两点同时在椭圆内或同时在椭圆外时符合条件.

解:依题意可知,当A、B同时在椭圆内或椭圆外时满足条件。

当A、B同时在椭圆内,则

解得a 17

当A、B同时在椭圆外,则

解得06 p

综上所述,解得0

例7若抛物线y2=4mx (m0)的焦点在圆(x-2m)2+(y-1)2=4的内部,求实数m的取值范围.

分析:由于焦点(m,0)在圆内部,则把(m,0)代入可得.

解:∵抛物线的焦点F(m,0)在圆的内部,

(m-2m)2+(0-1)24 即m23

又∵m0

-30或03 p

四、利用三角函数的有界性构造不等式

曲线的参数方程与三角函数有关,因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程,后利用三角函数的有界性构造不等式求解。

例8 若椭圆x2+4(y-a)2 = 4与抛物线x2=2y有公共点,

求实数a的取值范围.

分析: 利用椭圆的参数方程及抛物线方程,得到实数a与参数的关系,再利用三角函数的有界性确定a的取值情况.

解:设椭圆的参数方程为 (为参数)

代入x2=2y 得

4cos2= 2(a+sin)

a = 2cos2-sin=-2(sin+ 14 )2+ 178

又∵-1sin1,-1a178

例9 已知圆C:x2 +(y-1)2= 1上的点P(m,n),使得不等式m+n+c0恒成立,求实数c的取值范围

分析:把圆方程变为参数方程,利用三角函数的有界性,确定m+n的取值情况,再确定c的取值范围.

解:∵点P在圆上,m = cos,n = 1+sin(为参数)

∵m+n = cos+1+sin = 2 sin(+ 4 )+1

m+n最小值为1-2 ,

-(m+n)最大值为2 -1

又∵要使得不等式c-(m+n) 恒成立

c2 -1

五、利用离心率构造不等式

我们知道,椭圆离心率e(0,1),抛物线离心率e = 1,双曲线离心率e1,因而可利用这些特点来构造相关不等式求解.

例10已知双曲线x2-3y2 = 3的右焦点为F,右准线为L,直线y=kx+3通过以F为焦点,L为相应准线的椭圆中心,求实数k的取值范围.

分析:由于椭圆中心不在原点,故先设椭圆中心,再找出椭圆中各量的关系,再利用椭圆离心率01,建立相关不等式关系求解. p

解:依题意得F的坐标为(2,0),L:x = 32

设椭圆中心为(m,0),则 m-2 =c和 m-32 = a2c

两式相除得: m-2m-32 = c2a2 = e2

∵01,01,解得m2,

又∵当椭圆中心(m,0)在直线y=kx+3上,

0 = km+3 ,即m = - 3k ,

- 3k 2,解得-320 p

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