数学问题假设法

[小学六年级数学广角数学问题]1\因为任意一个自然数除以6的余数的可能结果有：0,1,2,3,4,5共6种，而有7个数，这样会产生7个余数，那么在7个余数中至少有两个余数相同，找出这两个数作差，刚好就可以把余数减掉，那么...+阅读

1、一批邻居，师徒合作12天完成，师傅因故停工5天，所以共用15天完成任务。这批零件师傅独做多少天？

解：设共有120个零件。

工效和：120÷12=10（个/天）

假设师傅没休息可做：10*15=150（个）

师傅每天做：（150-120）÷5=6（个）

独做需要：120÷6=20（天）

答：师傅独做需要20天。

2、一项工程计划50人做30天完成，现在先由24人做10天，假定每人的工作效率相同，要按其完成，以后每天要安排多少人？

解：设每人每天做1个。

一共有：1*50*30=1500（个）

已经做了：24*10=240（个）

还差：1500-240=1260（个）

还剩：30-10=20（天）

需要：1260÷20÷1=63（人）

答：以后每天需要63人。

数学归纳法进行证明的步骤

用数学归纳法进行证明的步骤：

（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；

（2）（归纳递推）假设时命题成立，证明当时命题也成立；证明了第二步，就获得了递推的依据，但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论；

（3）下结论：命题对从开始的所有正整数都成立。注：

（1）用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可；

（2）在第二步中，在递推之前，时结论是否成立是不确定的，因此用假设二字，这一步的实质是证明命题对的正确性可以传递到时的情况.有了这一步，联系第一步的结论（命题对成立），就可以知道命题对也成立，进而再由第二步可知即也成立，…，这样递推下去就可以知道对于所有不小于的正整数都成立.在这一步中，时命题成立，可以作为条件加以运用，而时的情况则有待利用归纳假设、已知的定义、公式、定理加以证明，不能直接将代入命题.

数学归纳法怎么正确使用

数学归纳法主要分为第一数学归纳法，第二数学归纳法，倒推归纳法，螺旋式归纳法

（一）第一数学归纳法：

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

(1)证明当n取第一个值时命题成立；

(2)假设当n=k(k≥n的第一个值，k为自然数)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

（二）第二数学归纳法：

对于某个与自然数有关的命题，

(1)验证 n=n0时 P(n)成立；

(2)假设 no综合（1）(2)对一切自然数 n(>n0)，命题P(n)都成立；（三）倒推归纳法（反向归纳法）：（1）对于无穷多个自然数命题 P(n)成立；（2）假设P(k+1)成立，并在此基础上推出P(k)成立，综合（1）(2)，对一切自然数 n(>n0)，命题P(n)都成立；（四）螺旋式归纳法 P(n),Q(n)为两个与自然数有关的命题，假如（1）P(n0)成立；（2）假设 P(k) (k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立；综合（1）(2)，对于一切自然数n(>n0),P(n),Q(n)都成立；已知最早的使用数学归纳法的证明出现于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (1575年)。Maurolico 利用递推关系巧妙的证明出证明了前 n 个奇数的总和是 n^2，由此揭开了数学归纳法之谜。最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成：递推的基础：证明当n = 1时表达式成立。递推的依据：证明如果当n = m时成立，那么当n = m + 1时同样成立。

数学归纳法一步两项问题

数学归纳法解题数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法. ●难点磁场（★★★★）是否存在a、b、c使得等式1•22+2•32+…+n(n+1)2= (an2+bn+c). ●案例探究〔例1〕试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n>1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：an+cn>2bn. 命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目. 知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤. 错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况. 技巧与方法：本题中使用到结论：（ak-ck）(a-c)>0恒成立（a、b、c为正数），从而ak+1+ck+1>ak•c+ck•a. 证明：

（1）设a、b、c为等比数列，a= ,c=bq(q>0且q≠1) ∴an+cn= +bnqn=bn( +qn)>2bn

(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想 >（）n(n≥2且n∈N*) 下面用数学归纳法证明： ①当n=2时，由2(a2+c2)>(a+c)2，∴ ②设n=k时成立，即则当n=k+1时，（ak+1+ck+1+ak+1+ck+1） >(ak+1+ck+1+ak•c+ck•a)= (ak+ck)(a+c) >( )k•（）=（）k+1 〔例2〕在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,Sn- 成等比数列.

（1）a2,a3,a4，并推出an的表达式；

（2）用数学归纳法证明所得的结论；

（3）数列{an}所有项的和. 命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识. 知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明. 错解分析：

（2）中，Sk=- 应舍去，这一点往往容易被忽视. 技巧与方法：通项可证明{ }是以{ }为首项，为公差的等差数列，进而得通项公式. 解：∵an,Sn,Sn- 成等比数列，∴Sn2=an•（Sn- ）(n≥2) (*)

(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2，代入（*）式得：a2=- 由a1=1,a2=- ,S3= +a3代入（*）式得：a3=- 同理可得：a4=- ，由此可推出：an=

(2)①当n=1,2,3,4时，由（*）知猜想成立. ②假设n=k(k≥2)时，ak=- 成立故Sk2=- •（Sk- ） ∴（2k-3）(2k-1)Sk2+2Sk-1=0 ∴Sk= （舍）由Sk+12=ak+1•（Sk+1- ），得（Sk+ak+1）2=ak+1(ak+1+Sk- ) 由①②知，an= 对一切n∈N成立.

（3）由

（2）得数列前n项和Sn= ，∴S= Sn=0. ●锦囊妙记

（1）数学归纳法的基本形式设P(n)是关于自然数n的命题，若 1°P(n0)成立（奠基） 2°假设P(k)成立（k≥n0），可以推出P(k+1)成立（归纳），则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.

（2）数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等. ●歼灭难点训练

一、选择题 1.（★★★★★）已知f(n)=(2n+7)•3n+9，存在自然数m，使得对任意n∈N，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为（） A.30 B.26 C.36 D.6 2.（★★★★）用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证（） A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4

二、填空题 3.（★★★★★）观察下列式子： …则可归纳出_________. 4.（★★★★）已知a1= ,an+1= ，则a2,a3,a4,a5的值分别为_________，由此猜想an=_________.

三、解答题 5.（★★★★）用数学归纳法证明4 +3n+2能被13整除，其中n∈N*. 6.（★★★★）若n为大于1的自然数，证： . 7.（★★★★★）已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.

(1)数列{bn}的通项公式bn;

(2)设数列{an}的通项an=loga(1+ )（其中a>0且a≠1）记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与 logabn+1的大小，并证明你的结论. 8.（★★★★★）设实数q满足|q| 参考答案难点磁场解：假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3，有于是，对n=1,2,3下面等式成立 1•22+2•32+…+n(n+1)2= 记Sn=1•22+2•32+…+n(n+1)2 设n=k时上式成立，即Sk= (3k2+11k+10) 那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2= (k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 = (3k2+5k+12k+24) = 〔3(k+1)2+11(k+1)+10〕也就是说，等式对n=k+1也成立. 综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立. 歼灭难点训练

一、1.解析：∵f

(1)=36,f

(2)=108=3*36,f

(3)=360=10*36 ∴f

(1),f

(2),f

(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除. 证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时， f(k)=(2k+7)•3k+9能被36整除，则n=k+1时， f(k+1)-f(k)=(2k+9)•3k+1