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有关三角形三边长面积周长之间关系的问题
设A,B,C为任意△ABC的三个顶点，则a、b、c为与之对应的三边。S=S△ABC.
∵a²=b²+c²-2bccosA b²=a²+c²-2accosB c²=a²+b²-2abcosC
∴cosA= (b²+c²-a²)/（2bc）, cosB=(a²+c²-b²)/（2ac）,
cosC=(a²+b²-c²)/（2ab）;
∴S²=（bcsinA/2） ²=b²c²（1-cos²A）/4
=[4b²c²-（b²+c²-a²） ²]/16
=[a²（b²+c²-a²）+b²（a²+c²-b²）+c²（a²+b²-c²）]/16
=[a²（a+b+c）(b+c-a)+ b²（a+b+c）(a+c-b)+c²（a+b+c）(a+b-c)-2abc(a+b+c)]/16···①
=(a+b+c)[a²（b+c-a）+b²（a+c-b）+ c²（a+b-c）-2abc]/16
=(a+b+c)(b+c-a)(a²-b²-c²+2bc)/16···②
=(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)/16···③；
∴S=[(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)/16]^½ ···④
令p=(a+b+c)/2，得：
S=[p(p-a)(p-b)(p-c)] ^½.
注释：
① 先将括号内配方，然后再化简。如：a²（b²+c²-a²）=a²[（b+c）²-a²-2bc]=a²（a+b+c）(b+c-a)-2a²bc.
② 用长除法分解因式。
③ 同②。
④ X^½表示X的算术平方根。
wuqing
三角形的三边与其面积外接圆的半径之前有何关系
考点：三角形、外接圆
解：关系：三角形的面积公式：S=1/2absinC
由正弦定理可得a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r（外接圆半径）
所以整理可得S=abc/(4r)
S=0.25,r=1，可得abc=1
补充练习：
把你的题目改了下：三角形ABC的三边长分别为a、b、c，面积为1/4，外接圆半径为1,
证：1/a+1/b+1/c>=根a+根b+根c.
证明：
已知面积S=1/4，外接圆半径R=1
利用面积公式S=abc/(4R)，易得abc=1,
代入所证式，知其等价于：
bc+ca+ab>=a根（bc）+b根（ca）+c根（ab） ......(*)
以下证明（*）成立：
bc+ca>=2c根（ab）
ca+ab>=2a根（bc）
ab+bc>=2b根（ca）
此三式相加后两边除以2，得
bc+ca+ab>=a根（bc）+b根（ca）+c根（ab）
故（*）成立，即题中所证式也成立！
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