有关代数的英文单词

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有关代数的英文单词

代数中的英语词汇（按拼音序） B 半负定二次型（negative semidefinite quadraticform）半负定矩阵（negative semi&finite matrix）半正定二次型（positive semidefinite quadratic form）半正定矩阵（positive semidefinite matrix）伴随矩阵（adjoint matrix）标准单位向量（standard unit vector）标准形矩阵（normal form for a matrix）标准正交基（orthonormal basis）不定二次型（indefinite quadratic form） C 初等矩阵（elementary matrix）代数余子式（algebraic cofactor）单位矩阵（identity matrix）单位向量（unit vector）等价的矩阵（equivalent matrices） D 等价向量组（equivalent vector sets）对称变换（symmetric transformation）对称矩阵（symmetric matrix）对换（transposition）对合矩阵（involutory matrix）对角矩阵（diagonal matrix）对角行列式（diagonal determinant） E n阶排列（permutation of order n）二次型（quadratic form）二次型的标准形（canonical form of a quadratic form）二次型的规范标准形（normal form of a quadratic form）二次型的矩阵（matrixofaquadraticform）二次型的秩（rankofaquadraticform） F 方阵的行列式 matrix determinant 反对称矩阵（skew symmetric matrix）范德蒙行列式（Vandermonde determinant）方阵（squarematrix）方阵的幂（powers of a matrix）非齐次线性方程组（system of non-homogeneous linear equations）非奇异矩阵（nonsingular matrix）非退化的线性代换（non-degenerate linear substitution）分块初等矩阵（block elementary matrix）分块对角矩阵（block diagonal matrix）分块矩阵（block matrix或partitioned matrices）符号差（signature）负定二次型（negative definite quadratic form）负定矩阵（egative definite matrix）负惯性指数（negative index of inertia）复矩阵（complex matrix） G 高斯消元法（Gauss elimination）格拉姆—施密特正交化方法（Gram—Schmidt orthogonalization process）共轭矩阵（conjugate matrix）惯性定理（law of inertia）规范的阶梯形矩阵（reduced row echelon form）过渡矩阵（transition matrix） H 行向量（row vector）行标（row index）行矩阵（row matrix）行列式（determinant of order n）行列式乘积（multiplication of determinants）行列式展开式（determinantal expansion）行列式的主对角线（main diagonal of determinant）恒等变换（identity）化二次型为标准形正交代换法 orthogonal substitution 初等变换法 elementary transformation 矩阵 matrix J 极大线性无关组（maximal linearly indepemdent systems）阶梯形矩阵（echelon matrix）基本向量（fundamental vector）基变换（change of bases）基础解系（system of fundamental solutions）矩阵（matrix）矩阵乘法（multiplication of matrices）矩阵的初等变换（elementary transformation of matrices）矩阵的行秩（row rank of matrix）矩阵的合同（congruence of matrices）矩阵的迹（trace of a matrix）矩阵的列秩（column rank of matrix）矩阵的数乘（scalar multiplication of matrix）矩阵的秩（rank of a matrix）矩阵的主对角线（maindiagonal of a squarematrix）矩阵加法（addition of matrices）矩阵相似于对角矩阵的条件矩阵的元素（entry of a matrix） K Cauchy-Schwarz不等式（Cauchy-Schwarz inequality）可交换矩阵（commutable matrices）可逆矩阵（invertible matrix）克拉默法则（Cramers Rule）克罗内克符号函数（Kronecker sign function） L 拉普拉斯展开式（Laplace expansion） X 线性方程组的系数矩阵（coefficient matrix of simultaneous lineare quations）线性方程组的增广矩阵（augmented matrix of simultaneous linear equations）线性空间（linear space）线性空间的基（basis of linear space）线性空间的维数（dimension of linear space）线性无关（1inearly independent）线性相关（1inearly dependent）线性子空间（1inear subspace）相等的矩阵（equal matrices）相似矩阵（similar matrices）向量（vector）向量的夹角（angle between two vectors）向量的距离（distance between vectors）向量空间（vector space）向量的内积（inner product of vectors）向量的线性组linear combination of vectors）向量组的秩（rank of a vector set）旋转变换（rotated transformation） Y 余子式（cofactor） Z 正定二次型（positive definite quadratic form）

什么是二次型？二次型如何表示

线性代数的重要内容之一，它起源于几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。二次型理论与域的特征有关。若V是域F上的线性空间，q是从V到F的一个映射，使q(x)=φ（x,x）,x∈V，式中φ是V上的对称双线性型，则q称为V上的二次型。当域F的特征不为2时，则φ由q惟一决定。此时φ（x,x）称为V上的二次型或二次齐式，而φ（x,y）称为此二次型的极型。若{e1,e2，…，en}为V的基底，则，于是，二次型φ（x,x）可表为式中，，j,k=1,2，…，n。令则，j,k=1,2，…，n。于是

（1）可惟一地表为对称形式式中是对称矩阵，且称为二次型φ（x,x）在基底e1,e2，…，en之下的矩阵。 A的秩rankA称为此二次型的秩，记为rankφ。当V的基底改变时，即，二次型φ（x,x）在新基底e姈，e娦，…，eń之下的矩阵变成B=PAP，仍为对称矩阵，且与A是合同的。所以，研究二次型的合同性可归结为研究对称矩阵的合同性。 V上的二次型也可看成F上的变元x1,x2，…，xn的二次齐次函数，又称为n元二次齐式或n元二次型，它与对称矩阵和对称双线性型都是一一对应的。当F为实数域R时，可以证明必有V的一组基底使二次型φ（x,x）有如下的形式，

（3）式中p q=rankA。 (3)称为实二次型φ（x,x）的实标准形。若

（3）中的系数不限于±1，则

（3）又可化为，

（4）并称为实二次型φ（x,x）的实对角型。式中αj、bk均大于零。所谓惯性定理，即实二次型φ（x,x）中的p、q、p┡、q┡必满足p=p┡，q=q┡，亦即

（3）中的p、q或

（4）中的p┡、q┡是由φ（x,x）惟一决定的合同不变量，分别称之为φ（x,x）的正、负惯性指标，而s=p-q称为φ（x,x）的符号差。易知，rankφ、s、p、q四个数都是合同不变量，其中任意两个都可惟一决定标准形

（3）。当 F为复数域时，作为实二次型的推广有所谓埃尔米特二次型。若为上的线性空间，从到的映射φ满足，，式中x,y在中，α

1、α2在C 中，则φ称为上的埃尔米特双线性型。由此可推出，式中x、yj在V中，、是b

1、b2的共轭复数，均在中。此时φ（x,x）称为埃尔米特二次型。易知，φ（x,x）∈R。若{e1,e2，…，en}是V 的基底，，则，式中，，且。因此，当的基底取定时，埃尔米特二次型φ（x,x）则由一个埃尔米特矩阵惟一确定。实二次型的基本性质都可推广到埃尔米特二次型上。例如，将

（3）、

（4）中的y嵃、y 分别换为、，就得其标准形与对角型；也可定义其正或负惯性指标、符号差，建立其惯性定理。所谓正定（恒正）的埃尔米特二次型或正定的实二次型φ（x,x）是指对于V的非零向量x，有φ（x,x）>0。可以证明，对于φ（x,x），下述的命题是等价的：①φ（x,x）是正定的。②A是正定矩阵。③有非奇异矩阵Q使A=Q Q，式中Q 表Q的共轭转置矩阵。 ④有对角元全为正的上三角矩阵M，使A=MM，式中M表M的共轭转置矩阵。⑤A的所有主子式全为正。⑥A的j阶主子式之和全为正，j=1,2，…，n，这里n=dimV。⑦A的所有左上角主子式（顺序主子式）全为正。⑧A 的所有特征值全为正。⑨φ（x,x）的正项指标p =n，这里n=dimV。若将上述正定定义中的“>”，分别换为＂≥＂、“ φ负定即-φ正定，φ半负定即-φ半正定，由此可得出负定、半负定的某些充分必要条件。埃尔米特二次型与实二次型分别在酉变换与正交变换下的性质，无论是在理论上还是在实用上都具有重要的意义。在酉变换（正交变换）下，化埃尔米特二次型（实二次型）为标准形时，可先在的任一基底下找出埃尔米特二次型对应的埃尔米特矩阵A，再出A的全部特征值，即得φ（x,x）的标准形，式中的（y1,y2，…，yn）是x在V某一基底下的坐标；λ1，λ2，…，λn是φ（x,x）在V的任意基底下的对应矩阵A的全体特征值。埃尔米特矩阵必有n个线性无关的特征向量。令以λ1，λ2，…，λn为对角元的对角矩阵，则M的列向量依次为各λj对应的A的特征向量，将这些向量正交化，即得所的酉矩阵。实二次型为埃尔米特型的特例，所以也可用此方法出实二次型的正交矩阵。二次型的理论在物理学、几何学、概率论等学科中都已得到了广泛的应用。在二次型的研究中已由域上二次型的算术理论发展到环上二次型的算术理论，它们与代数数论、数的几何等都有密切的联系。此外，在多重线性代数中使用二次型还可定义比外代数更广的克利福特代数。