数学：圆锥曲线与方程

[初三数学一元二次方程思维导图]初三数学一元二次方程思维导图如下：一元二次方程，只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程经过整理都可化成一般形式a...+阅读

设A,B坐标分别是（x1,y1）,(x2,y2)，则所M点到y轴距离为f(x1,x2)=(x1+x2)/2

按照题目条件可得一下等式：

y1^2=x1

y2^2=x2

(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=3^2

整理得：x1^2-2x1x2+x2^2+x1+x2-2√（x1x2）=9

令φ（x1,x2）=x1^2-2x1x2+x2^2+x1+x2-2√（x1x2）-9

原题实际就是f(x1,x2)=(x1+x2)/2在条件φ（x1,x2）=0时的条件极值。

构成函数G(x1,x2，λ)=（x1+x2）/2+λφ（x1,x2）

利用拉格朗日乘数法，得到一下方程组：

G对x1导=1/2+2λx1-2λx2+λ-λx2/[√（x1x2）]=0

G对x2导=1/2+2λx2-2λx1+λ-λx1/[√（x1x2）]=0

φ（x1,x2）=0

将前两个方程相减，得：λ（x1-x2）/[√（x1x2）]=0

所以f(x1,x2)=(x1+x2)/2在满足条件φ（x1,x2）=0时的极值点为：

λ=0或者x1=x2

显然λ=0不符合要，所以在x1=x2时，f(x1,x2)=(x1+x2)/2取得极值，即当线段AB平行于y轴时，点M到y轴的距离最短。

所以不妨令y1=-y2=3/2，易得：（x1+x2）/2=9/4

即M到y轴最短距离为9/4，此时M点坐标为（9/4,0）

1、直线l与直线l1:x+3y-1=0垂直，且与曲线2x²+y²=1只有一个公共点，直线l的方程

∵直线l1:x+3y-1=0的斜率= - 1/3，那么，直线l的斜率就是 3.

∴设直线l为 y = 3x+b，代入 2x²+y²=1得到的一元二次方程11x² + 6bx + b² - 1 = 0 的判别式=0

解得 b = ± 2分之根号222、已知定点A(-5,0),B(5,0)，动点P与点A连线的斜率和P与点B连线时斜率之乘积为-3，动点P的轨迹方程。

设平（x,y ），则根据 P与点A连线的斜率 * P与点B连线斜率= -3得

( y-0 )÷ （x +5） ·（ y-0 ）÷ （x -5）= - 3

化简得 3x² + y² = 75

3、曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,3)的距离减去它到x轴的距离的差都是3，该曲线的方程

y = 1/12 x² - 1/24、一动点P和原点的距离，等于它和原点连线的斜率，这动点的轨迹方程

x 的4次方 + x²y² - y² = 05、一条线段PQ的长为10，两端点P、Q分别在x轴和y轴上滑动，PQ中点M的轨迹方程

x² + y² = 25

x² -6y + 6 = 6y 变形得 y = 1/12 x² - 1/24，设动点P(x,y )，根据动点P和原点的距离，等于它和原点连线的斜率得

根号（ x² + y² ） = y / x

化简得 x 的4次方 + x²y² - y² = 05， ∵PQ的长为10，两端点P、Q分别在x轴和y轴上滑动

∴P,Q，与O构成直角三角形

∵PQ中点M，那么OM = 1/2 PQ= 5（斜边上的中线=斜边的一半啊）

设动点M(x,y )，那么，根号（ x² + y² ） = 5

即 x² + y² = 2 5