初二几何数学。证明全等三角形有哪些方法例如直角三角形中线是斜边

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一、当已知两个三角形中有两边对应相等时，找夹角相等（SAS）或第三边相等（SSS）。

例1. 如图1，已知：AC=BC,CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，且B、C、D在同一条直线上。

证：AD=BE

分析：要证AD=BE

注意到AD是△ABD或△ACD的边，BE是△DEB或△BCE的边，只需证明△ABD≌△DEB或△ACD≌△BCE，显然△ABD和△DEB不全等，而在△ACD和△BCE中，AC=BC,CD=CE，故只需证它们的夹角∠ACD=∠BCE即可。

而∠ACD=∠ACE+60°，∠BCE=∠ACE+60°

故△ACD≌△BCE(SAS)

二、当已知两个三角形中有两角对应相等时，找夹边对应相等（ASA）或找任一等角的对边对应相等（AAS）

例2. 如图2，已知点A、B、C、D在同一直线上，AC=BD,AM∥CN,BM∥DN。

证：AM=CN

分析：要证AM=CN

只要证△ABM≌△CDN，在这两个三角形中，由于AM∥CN,BM∥DN，可得

∠A=∠NCD，∠ABM=∠D

可见有两角对应相等，故只需证其夹边相等即可。

又由于AC=BD，而

故AB=CD

故△ABM≌△CDN(ASA)

三、当已知两个三角形中，有一边和一角对应相等时，可找另一角对应相等（AAS,ASA）或找夹等角的另一边对应相等（SAS）

例3. 如图3，已知：∠CAB=∠DBA,AC=BD,AC交BD于点O。

证：△CAB≌DBA

分析：要证△CAB≌△DBA

在这两个三角形中，有一角对应相等（∠CAB=∠DBA）

一边对应相等（AC=BD）

故可找夹等角的边（AB、BA）对应相等即可（利用SAS）。

四、已知两直角三角形中，当有一边对应相等时，可找另一边对应相等或一锐角对应相等

例4. 如图4，已知AB=AC,AD=AG,AE⊥BG交BG的延长线于E,AF⊥CD交CD的延长线于F。

证：AE=AF

分析：要证AE=AF

只需证Rt△AEB≌Rt△AFC，在这两个直角三角形中，已有AB=AC

故只需证∠B=∠C即可

而要证∠B=∠C

需证△ABG≌△ACD，这显然易证（SAS）。

五、当已知图形中无现存的全等三角形时，可通过添作辅助线构成证题所需的三角形

例5. 如图5，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BD是中线，AE⊥BD于F，交BC于E。

证：∠ADB=∠CDE

分析：由于结论中的两个角分属的两个三角形不全等，故需作辅助线。注意到AE⊥BD，∠BAC=90°，有∠1=∠2，又AB=AC。故可以∠2为一内角，以AC为一直角边构造一个与△ABD全等的直角三角形，为此，过C作CG⊥AC交AE的延长线于G，则△ABD≌△CAG，故∠ADB=∠CGA。

对照结论需证∠CGA=∠CDE

又要证△CGE≌△CDE，这可由

CG=AD=CD，∠ECG=∠EBA=∠ECD,CE=CE而获证。