基本和数列的通项公式怎么

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基本和数列的通项公式怎么

方法是很多的，感觉最简单的就是母函数方法了~~但那个要用些高等数学的知识

下面这个是特征根方法，好理解一些

斐波拉契数列的通项公式之推导由an+2= an+1+an

有an+2- an+1- an=0

构造特征方程 x2-x-1=0,

令它的两个根是p,q 有pq=-1 p+q=1

下面我们来证 {an+1-pan}是以q为公比的等比数列。

为了推导的方便，令a0=1，仍满足an+2= an+1+an

an+1-pan

= an+an-1 -pan

= (1-p) an-pqan-1

=q(an-pan-1)

所以：{an+1-pan}是以q为公比的等比数列。

a1-pa0

=1-p=q

所以 an+1-pan=q*qn=qn+1 ①

同理 an+1-qan=p*pn=pn+1 ②

①-②：（q-p）an= qn+1-pn

因p=(1-√5)/2,q=(1+√5)/2,q-p=√5，所以 an=(1/√5){[(1+√5)/2]n+1-[(1-√5)/2] n+1} 可验证a0,a1也适合以上通项公式。

顺便指出，上述方法也可用于推导形如 an+2= Aan+1+Ban (A,B是常数)的数列的通项公式。

相应的特征方程是 x2-Ax-B=0.

通项公式的所有方法

通项公式的几种方法

数列的通项公式是研究数列的重要依据，下面说明几种数列通项公式的方法.

一、观察法

已知一个数列的前几项，观察其特点，写出通项公式.

例1 观察下列数的特点，写出每个数列的一个通项公式.

(1) ; (2) .

解：（1） ; (2) .

二、由的前项和与间的关系，通项

已知数列的通项公式，可以出的前项和；反过来，

若已知的前项和，如何呢？

当时，；当时，，

故

此处应注意并非对所有的都成立，而只对当且为正整数时成

立，因此由时必须分和两种情况进行讨论.

例2 设数列的前项和，数列的通项公式.

解：当时，；

当时， .

此式对也适用.

点评：利用数列的前项和数列的通项公式时，要注意是否也满足

得出的表达式，若不满足，数列的通项公式就要用分段形式写出.

三、利用公式通项公式

已知一个数列是特殊的数列，只要出首项和公差代入公式即可出通项.

例3 等差数列的前项和记为，已知，通项 .

解：， ①

， ②

②-①，得 .代入①，得 .

四、利用递推关系，通项公式

根据题目中所给的递推关系，可构造等差数列或采取叠加，叠乘的方法，消去中间项通项公式.

例4 根据下列条件，数列的通项公式 .

(1) 数列中，；

(2) 数列中，；

(3) 数列中， .

解：（1）因为，所以 .

又，所以成等差数列，公差为 .

所以 .

(2)因为，所以，，，，

将上面个式子叠加，得，

所以 .

(3)由，变形为，

, .

将上面的式子叠乘，得 .

五、两式相减，消项通项

例5 数列满足， .

解：由题意，

又，

两式相减，得 .

又时，也适合上式， .

总之，数列通项公式的方法有很多，同学们要在实践中注意总结，寻找解题规律.

通项公式的方法归纳

数列知识点总结及数列和，通项公式的方法归纳（附例题）59 数列；数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、通项；1.数列的有关概念：；

（1）数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数；函数；

（3）通项公式：如果数列？an？的第n，那么这个；叫做这个数列的通项公式，即an?f(n).如：a;(4)递推公式：如果已知数列？an？的第一项（或；an?1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示；an?f(an?1,an？数列数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、通项公式，递推公式、数列和、数列极限、简单的数列不等式证明等. 1.数列的有关概念：

（1）数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.

（2）从函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数集N？（或它的有限子集）的函数。当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。由于自变量的值是离散的，所以数列的值是一群孤立的点。

（3）通项公式：如果数列？an？的第n，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即an?f(n).如： an?2n?1。 (4) 递推公式：如果已知数列？an？的第一项（或前几项），且任何一项an与它的前一项 2 an?1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即an?f(an?1)或 an?f(an?1,an?2)，那么这个式子叫做数列？an？的递推公式. 如数列？an？中， an?2an?1?1，其中an?2an?1?1是数列？an？的递推公式.再如： a1?1,a2?2,an?an?1?an?2(n?2)。 2.数列的表示方法：

（1）列举法：如1,3,5,7,9,? (2)图象法：用（n, an）孤立点表示。

（3）解析法：用通项公式表示。

（4）递推法：用递推公式表示。 3.数列的分类：按有界性？？有穷数列按项数？？无穷数列？常数列：an?2?n ？递增数列：an?2n?1,an?2 按单调性？2 ？递减数列：an??n?1？摆动数列：a?(?1)n?2n?n ？？有界数列：存在正数M，总有项an使得an?M,n?N？？？无界数列：对于任何正数M，总有项an使得an>M 4.数列{an}及前n项和之间的关系： Sn?a1?a2?a3???an an??? S1,(n?1) ?Sn?Sn?1,(n?2) 等差数列 1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d，这个数列叫做等差数列，常数d称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n项和公式 ⑴通项公式an?a1?(n?1)d,a1为首项，d为公差.可变形为an?am?(n?m)d ⑵前n项和公式Sn?3.等差中项如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项. 即：A是a与b的等差中项？2A?a?b?a,A,b成等差数列. 4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：an?1?an?d(n?N?,d是常数)？？an？是等差数列； ⑵中项法：2an?1?an?an?2(n?N?)??an？是等差数列. 5.常用性质：？an？是等差数列

（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq; (2)数列？an?p？、？pan?(p?an？中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,an?k,an?2k,an?3k，？为等差数列，公差为kd。 2 (3)Sn,S2n?Sn,S3n?S2n……仍为等差数列，公差为nd;? n(a1?an)1 或Sn?na1?n(n?1)d. 22 ?Sn？？是等差数列。 n?? (4)若三个成等差数列，可设为a?d,a,a?d；四个数成等差数列，可设为 a?3d,a?d,a?d,a?3d (5)?an？为等差数列？Sn?an?bn(a,b为常数，是关于n的常数项为0的二 2 次函数)。（an?an?b(a,b是常数)） Sn的最值可二次函数Sn?an2?bn的最值；或者出？an？中的正、负分界项，即：当a1?0,d?0，解不等式组？？an?0 可得Sn达到最大值时的n值. a?0?n?1 ?an?0 当a1?0,d?0，由？可得Sn达到最小值时的n值. a?0?n?1 (6) 项数为偶数2n的等差数列？an？有， S2n?n(a1?a2n)?n(a2?a2n?1)???n(an?an?1)(an,an?1为中间两项) S偶？S奇？nd, S奇S偶？ an . an?1 ，有

（7）项数为奇数2n?1的等差数列？an? S2n?1?(2n?1)an(an为中间项)， S奇？S偶？an, S奇S偶？ n. n?1 等比数列 1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数q(q?0)，这个数列叫做等比数列，常数q称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n项和公式 n?1n?m ⑴通项公式：an?a1q,a1为首项，q为公比 . 可变形为an?am?q(n,m?N？) ⑵前n项和公式：①当q?1时，Sn?na1 a1(1?qn)a1?anq ？②当q?1时，Sn?. 1?q1?q 3.等比中项如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 即：G是a与b的等比中项？a,A,b成等比数列？G2?a?b. 4.等比数列的判定方法 ⑴定义法： an?1 ?q(n?N?,q?0是常数)？？an？是等比数列； an 2 ⑵中项法：an?1?an?an?2(n?N？)且an?0??an？是等比数列. 5.常用性质 ⑴数列？an？是等比数列，则数列？pan?k 数列，即an,an?k,an?2k,an?3k，？为等比数列，公比为q;Sn,S2n?Sn,S3n?S2n……仍为等比数列，公比为q. ⑵若m?n?p?q(m,n,p,q?N？)，则am?an?ap?aq； ⑶如果三个数构成等比数列，则设其为 n a ,a,aq；若四个数成等比数列，则可设其为q aa ,,aq,aq3。 3 qq ⑷等比数列的通项公式可以改写成an？数，而an? a1n q。当q?0且q?1时，y?qx是一个指数函q a1n q是一个不为0的...