如何对高中数学必修1函数的单调性进行趣味教学

[一次函数有哪些知识点]去文库，查看完整内容> 内容来自用户：你说的对知识点一、平面直角坐标系 1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数...+阅读

例1】判断下列各式，哪个能确定y是x的函数？为什么？

（1）x2+y=1 (2)x+y2=1 解

（1）由x2+y=1得y=1-x2，它能确定y是x的函数. 于任意的x∈{x|x≤1}，其函数值不是唯一的. 【例2】下列各组式是否表示同一个函数，为什么？解

（1）中两式的定义域部是R，对应法则相同，故两式为相同函数.

（2）、

（3）中两式子的定义域不同，故两式表示的是不同函数.

（4）中两式的定义域都是-1≤x≤1，对应法则也相同，故两式子是相同函数. 【例3】求下列函数的定义域：【例4】已知函数f(x)的定义域是[0,1]，求下列函数的定义域：求实数a的取值范围. 为所求a的取值范围. 【例6】求下列函数的值域：

（1）y=-5x2+1 (3)y=x2-5x+6,x∈[-1,1) (4)y=x2-5x+6,x∈[-1,3] (9)y=|x-2|-|x+1| 解

（1）∵x∈R，∴-5x2+1≤1，值域y≤1. (6)定义域为R (7)解：定义域x≠1且x≠2 (y-4)x2-3(y-4)x+(2y-5)=0 ① 当y-4≠0时，∵方程①有实根，∴Δ≥0，即9(y-4)2-4(y-4)(2y-5)≥0 化简得y2-20y+64≥0，得 y当y=4时，①式不成立. 故值域为y 函数y在t≥0时为增函数（见图2.2-3）. (9)解：去掉绝对值符号，其图像如图2.2-4所示. 由图2.2-4可得值域y∈[-3,3]. 说明求函数值域的方法： 1°观察法：常利用非负数：平方数、算术根、绝对值等.（如例1,2） 2°求二次函数在指定区间的值域（最值）问题，常用配方，借助二次函数的图像性质结合对称轴的位置处理.假如求函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，在给定区间[m,n]的值域（或最值），分三种情况考虑：（如例5）可做公式用. 法求y的范围（如例6-7）. 为二次函数求值域.但要注意中间量t的范围（如例6-8）. 6°分离有界变量法：从已知函数式中把有界变量解出来.利用有界变量的范围，求函数y的值域（如例6-6）. 7°图像法（如例6-9）：由于求函数值域不像求函数定义域那样有一定的法则和程序可寻，它要根据函数解析式的不同特点灵活用各种方法求解. 解

（2）∵f(-7)=10，∴f[f(-7)]=f(10)=100. 说明本例较简单，但主要用意是深刻理解函数符号f(x)的意义.求分段函数值时，要注意在定义域内进行. 【例8】根据已知条件，求函数表达式.

（1）已知f(x)=3x2-1，求①f(x-1)，②f(x2). (2)已知f(x)=3x2+1,g(x)=2x-1，求f[g(x)]. 求f(x). (4)已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1，求f(x). (5)设周长为a(a>0)的等腰三角形，其腰长为x，底边长为y，试将y表示为x的函数，并求它的定义域和值域.

（1）分析：本题相当于x=x-1时的函数值，用代入法可求得函数表达式. 解 ∵f(x)=3x2-1 ∴f(x-1)=3(x-1)2-1=3x2-6x+2 f(x2)=3(x2)2-1=3x4-1 (2)分析：函数f[g(x)]表示将函数f(x)中的x用g(x)来代替而得到的解析式，∴仍用代入法求解. 解由已知得f[g(x)]=3(2x-1)2+1=12x2-12x+4 法（或观察法）. ∴x=(t+1)2代入原式有f(t)=(t+1)2-6(t+1)-7 =t2-4t-12 (t≥-1) 即f(x)=x2-4x-12 (x≥-1) 说明解法二是用的换元法.注意两种方法都涉及到中间量的问题，必须要确定中间量的范围，要熟练掌握换元法.

（4）分析：本题已给出函数的基本特征，即二次函数，可采用待定系数法求解. 解设f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 由f(0)=2，得c=2.由f(x+1)-f(x)=x-1，得恒等式2ax+ 说明待定系数是重要的数学方法，应熟练掌握.

（5）解：∵2x+y=a，∴y=a-2x为所求函数式. ∵三角形任意两边之和大于第三边， ∴得2x+2x>a，又∵y>0，说明求实际问题函数表达式，重点是分析实际问题中数量关系并建立函数解析式，其定义域与值域，要考虑实际问题的意义.