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假设存在三个不同的正整数 x1 , x2 , x3 ，使得 | ax^2 + bx + c |≤ 1000 .

令 f ( x) = ax 2 + bx + c ，则 x1 , x2 , x3 中至少有两个在对称轴 x= -b/2a 的一侧（包括对称轴上），

不妨设 x1 > x2 ≥ -b/2a则 2ax2 + b ≥ 0

因为 ax1^2 + bx1 + c ≤ 1000 , ax2^2+ bx2+c ≤ 1000 ， （两式相减）

所以 （ x1- x2 ）[a( x1 + x2 ) + b] ≤ 0............①

又 x1, x2 是整数，所以 x1 ≥ x2 + 1,

于是 a( x1 + x2 ) + b ≥ a( x2 + 1 + x2 ) + b = a+ 2ax2 + b ≥ a> 2000

故 （ x1 - x2 ）[a( x1 + x2 ) + b] > 0.................②

①与②矛盾，从而命题得证。

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