帕斯卡三角 辉三角”简介 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ...... 上述三角形数表称为“杨辉三角”，它呈现了二项式展开式各项系数的规律.如表中第三行为二项式 的各项的系数：1,2,1. 又如表中第四行为二项式 的各项的系数：1,3,3,1. “杨辉三角”中数的排列规律是：每一行两端都是1，其余各数都是上一行中与比数最相邻的两数之和，如 这个数表是南宋数学家杨辉收录在他的著作里才流传下来的.据他的著作里记载，这个数表早在11世纪由北宋数学家贾宪所发现.因此，后人把“杨辉三角”又称为“贾宪三角”. 在西方，称这个数表为“帕斯卡三角形”.帕斯卡在1653年开始应用这个三角形数表，发表则在1665年.这就是说，就发现和应用这个三角形而言，贾宪比帕斯卡早600年左右，杨辉比帕斯卡早400多年.朱世杰只是扩充了其中的内容同时 这也是多项式（a+b）^n 打开括号后的各个项的二次项系数的规律 即为0 (a+b)^0 (0 nCr 0)1 (a+b)^1 (1 nCr 0) (1 nCr 1)2 (a+b)^2 (2 nCr 0) (2 nCr 1) (2 nCr 2)3 (a+b)^3 (3 nCr 0) (3 nCr 1) (3 nCr 2) (3 nCr 3). ... ... ... ... ...因此 杨辉三角第x层第y项直接就是 （y nCr x）我们也不难得到 第x层的所有项的总和 为 2^(x-1) （即（a+b）^x中a,b都为1的时候）[ 上述y^x 指 y的 x次方；（a nCr b） 指 组合数]其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。

中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是叫你找规律。具体的用法我们会在教学内容中讲授。

在国外，这也叫做＂帕斯卡三角形＂.S1：这些数排列的形状像等腰三角形，两腰上的数都是1S2：从右往左斜着看，第一列是1,1,1,1,1,1,1；第二列是，1,2,3,4,5,6；第三列是1,3,6,10,15；第四列是1,4,10,20；第五列是1,5,15；第六列是1,6……。从左往右斜着看，第一列是1,1,1,1,1,1,1；第二列是1,2,3,4,5,6……和前面的看法一样。我发现这个数列是左右对称的。

S3：上面两个数之和就是下面的一行的数。S4：这行数是第几行，就是第二个数加一。……幻方，在我国也称纵横图，它的神奇特点吸引了无数人对它的痴迷。从我国古代的“河出图，洛出书，圣人则之”的传说起，系统研究幻方的第一人，当数我国古代数学家——杨辉。杨辉，字谦光，钱塘（今杭州）人，我国南宋时期杰出的数学家，与秦九韶、李冶、朱世杰并称宋元四大数学家，他在我国古代数学史和数学教育史上占有十分重要的地位。

杨辉对幻方的研究源于一个小故事。当时杨辉是台州的地方官，一次外出巡游，碰到一孩童挡道，杨辉问明原因方知是一孩童在地I 做一道数学算题，杨辉一听来了兴趣，下轿来到孩童旁问是什么算题。原来，这个孩童在算一位老先生出的一道趣题：把1到9的数字分行排列，不论竖着加、横着加，还是斜着加，结果都等于15。杨辉看到这个算题， 时想起来他在西汉学者戴德编纂的《大戴礼》一书中也见过。

杨辉想到这儿，和孩童一起算了起来，直到午后，两人终于将算式摆出来了。后来，杨辉随孩童来到老先生家里，与老先生谈论起数学问题来。老先生说：“北周的甄弯注《数术记遗》一书中写过‘九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”’杨辉听了，这与自己与孩童摆出来的完全一样。便问老先生：“你可知这个九宫图是如何造出来的？”老先生说不知道。

杨辉回到家中，反复琢磨。一天，他终于发现一条规律，并总结成四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。就是说：先把l~9九个数依次斜排，再把上l下9两数对调，左7右3两数对调，最后把四面的2、4、6、8向外面挺出，这样三阶幻方就填好了。杨辉研究出三阶幻方（也叫络书或九宫图）的构造方法后，又系统的研究了四阶幻方至十阶幻方。

在这几种幻方中，杨辉只给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明，四阶以上幻方，杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误，可见他已经掌握了高阶幻方的构成规律。在信息领域杨辉三角也起着重要作用。