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首先，关于你说的冲突并不存在，因为《劳动合同法》规定
第八十二条 用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。
也就是说，如果一个月内应当签订劳动合同但没有签，那么从用工起第二个月就应当支付两倍工资。满足以上第一款；期满一年后，因未签合同满一年而转为无固定期限劳动关系，此时用人单位还不订立书面合同的话，仍然应该继续按两倍工资付。满足以上第二款。
然后是你举的案例。还是根据《劳动合同法》
第十四条 无固定期限劳动合同，是指用人单位与劳动者约定无确定终止时间的劳动合同。
用人单位与劳动者协商一致，可以订立无固定期限劳动合同。有下列情形之一，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同：
（一）劳动者在该用人单位连续工作满十年的；
……
请注意这里的用词“劳动者提出或者同意续订、订立”，也就是说劳动者连续工作十年后无固定期限劳动合同的订立需要劳动者或用人单位主动提出，或是在原合同到期时劳动者提出续签或同意续签。所以我认为：1.在劳动关系存续期间要订立书面无固定期限劳动合同需要劳动者主动提出，或用人单位提出劳动者同意。如果没有提出应该不算自动转为无固定期限合同。2.在劳动关系即将届满时会给劳动者一个选择是否续签以及按固定期限续签还是无固定期限续签的权利。
案例问题1：你的案例中如果第11年劳动者说要签无固定期限的，但是单位不给签，那么应该开始支付两倍工资。（注：以上假设均设立在劳动者有证据证明的前提下）
案例问题2：同案例问题1，我觉得不能自动转为无固定期限劳动合同。如果劳动者之后同意签订了或续签了无固定期限劳动合同，那时候合同上约定了什么样的工资就是什么工资，是双方合意的结果，任何一方不能随便推翻。
以上均为个人观点，希望有所帮助。
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