列举5道函数与方程思想及分类讨论思想在解题中的应用

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列举5道函数与方程思想及分类讨论思想在解题中的应用

分类讨论其实不难，远不及函数难的，关键是要考虑全面。

例3：已知长方体无盖纸盒有一个面是正方形，且已知两条棱的长度分别为4CM,5CM，求这个纸盒外面的表面积和容积。

解：无盖长方体的侧面为4个一模一样（即全等）的长方形，因此只有底面为正方形才行（若是侧面为正方形，则有4个面为正方形，这不符合题意），据此分析，分类讨论如下：

1〉当底面正方形边长为4CM时，4条侧棱长即为5CM，此时表面积

为S1=4^2+4*(4*5)=96cm^2，容积V1=4^2*5=80cm^3

2>当底面正方形边长为5CM时，4条侧棱长即为4CM，此时表面积为

S2=5^2+4*(5*4)=105cm^2，容积V2=5^2*4=100CM^3

例4：某学校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘费）；若学校自刻，除租用刻录机需120元外，每张还需成本4元（包括空白光盘）。问刻录这批光盘，到电脑公司刻录费用省，还是自刻录费用省？请说明理由。

设需要刻录x张光盘，则

到电脑公司刻录费用为y1=8x元，若自刻录费用y2=120+4x元。

当y1>y2时，x>30；当y1=y2时，x=30；当y1正好30张时，到电脑公司刻录费用与自刻录费用一样省。

超过30张时，还是自刻录费用省。

少于30张时，到电脑公司刻录费用省。

还有一道函数分类讨论，你看看吧！

例5：若m>n>0,a>0，且a不等于1，试比较（a）m+(a)-m与（a）n+(a)-n的大小.

a^m+a^(-m)-[a^n+a^(-n)]

=(a^m-a^n)+(1/a^m-1/a^n)

=(a^m-a^n)+(a^n-a^m)/(a^m*a^n)

=(a^m-a^n)[1-1/a^(m+n)]

=(a^m-a^n){1-a^[-(m+n)]}(*)

当a>1时，由m>n>0,-(m+n)a^n,a^[-(m+n)]--->a^m-a^n>0,1-a^[-(m+n)]>0

因此（*）>0，此时原式>0，所以a^m+a^(-m)>a^n+a^(-n).

当0n>0,-(m+n)1

--->a^m-a^n因此（*）>0，所以a^m+a^(-m)>a^n+a^(-n).

综合起来，只要a>0并且a1,m>n>0，都有a^m+a^(-m)>a^n+a^(-n)成立

晕吧？呵

什么是方程与函数思想

函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容。函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决.这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路

和函数有必然联系的是方程，方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0通过方程进行研究，要确定变化过程的某些量，往往要转化为求出这些量满足的方程，希望通过方程（组）来求得这些量.这就是方程的思想，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.

就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.

比如，对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x。x2+px>4x+p-3恒成立，试求x的取值范围一例，我们习惯上把x当作自变量，构造函数y=x2+(p-4)x+3-p，于是问题转化为：当p∈[0,4]时，y>0恒成立，求x的取值范围.解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的.

如果把p看作自变量，x视为参数，构造函数y=(x-1)p+(x2-4x+3)，则y是p的一次函数，就非常简单.即令f(p)=(x-1)p+(x2-4x+3).函数f(p)的图象是一条线段，要使f(p)>0恒成立，当且仅当f(0)>0，且f(4)>0，解这个不等式组即可求得x的取值范围是（-∞，-1）∪（3，+∞）.本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x的不等式组来达到求解的目的.又如，

已知（3x4+7x3+4x2-7x-5）5·（3x4-7x3+4x2+7x-5）5=a0+a1x+a2x2+…+a40x40，试求a0+a2+a4+…+a40的值.此题的第一感觉，可能会联想到二项式定理，但是仔细观察会发现左边并不是某两个二项式的展开式.但比较一下对应项的系数，不难发现，它们的偶次幂项的系数都相等，而x的奇次幂项的系数互为相反数，联想到函数的奇偶性便不难解决.

在函数的学习和复习中，要做到熟练掌握基础知识，充分理解各知识点间的内在联系，如数列中的an、Sn都可以看作是n的函数而应用函数思想以获得新的解法。要总结、归纳运用函数的观点和方法解决常见数学问题的解题规律。在解题中，充分、合理地运用函数与方程的思想方法，会产生意想不到的效果。

数学里的函数与编程里的函数在本质上是一致的。函数是一个透明与不透明范畴的概念，有了函数，就可以在只知道要实现的功能的情况下调用该函数，而不需要知道具体的映射关系。要解决这个映射关系就是这个函数内部所要做的。

方程是建立等价的关系，由这个或这些等价关系做出进一步推断，与函数有质的区别。

函数方程思想分类讨论思想转化和化归思想递进思想换元法

数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；

一、函数与方程函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y=f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)-y=0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。

二、等价转化等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。

三、分类讨论在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了...