函数连续性在几何上的表示方法研究

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函数连续性的概念：

函数在一点的连续性，值得注意的是函数的连续性是对一点进行定义的，引《数学分析》第四版上册中的定义1:设函数f在某U(Xo)在有定义.若当XXo时lim f(Xo)=f(Xo)，则称f在点Xo连续.该定义指出如果f(X)中X趋于Xo时的极限等于f(Xo)则函数连续.在几何表示中，则可以认为X所对应的f(X)在Xo处是与U(Xo)对应的f是相接的，不是断点的.在此我们可以发现:1.函数在Xo处连续与函数在Xo处的极限有密切关系，f在点Xo有极限是f在Xo处连续的必要条件，从几何图示上可以清楚看到函数在X趋于Xo无极限，则f(Xo)与函数在X趋于Xo的值不可能相交，因此不可能连续.2.函数在Xo处连续的第二个条件是函数在X趋于Xo对应的左右f(X)极限必须相等，在几何上反应的是过(Xo，f(Xo))是一条连续的曲线，至于是怎么一个形状的曲线，只要无中间断点即可.

间断点及其分类：

有了函数f在某对应Xo处的定义则不满足连续定义的点都可以算是间断的，称为间断点或者不连续点.主意此处的间断点可以分为两种1.可去间断点2.跳跃间断点.具体定义可以参照《数学分析》第四版上册P73.在此我要谈谈的是几何表示:1.可去间断点在几何中表示为两种形式①Xo这个点在f上无定义，因此无实际图像，而当XXo时的lim f(X)=A，几何表示为一条曲线上擦去了某一个点②Xo对应在f上有定义，但f(Xo)与当XXo时的lim f(X)不相等，在几何上可以表示成一条曲线上的某一点上下平移到另一位置.总之可去间断点要求的是一条曲线上某一点的变化.2.跳跃间断点，跳跃间断点表示的则是一条曲线在某一处剪短，把其中的半条曲线上下平移，图像上直观观测为阶梯状.

连续函数的性质：

连续函数的性质可分为局部性质，闭区间上的连续函数的基本性质，反函数的连续性和一致连续性等几个方面.其中我在谈谈的是闭区间上连续函数的基本性质与一致连续性的意义和几何表示.

首先说闭区间上连续函数的基本性质，f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在此闭区间上有最大值与最小值，则f在闭区间[a，b]上存在上确界与下确界.因此在几何表示上，这条f图像可以用一个矩形框框起来，矩形框的上下边则是上下界.利用这个方法可以清晰的理解为什么f在闭区间上连续就有最大最小值了.

其次要说说介值性定理，参照《数学分析》第四版上册P79中的4.7:设函数f在闭区间[a，b]上连续，且f(a)f(b).若ч为介于f(a)与f(b)之间的任何实数，则至少存在一点Xo属于(a，b)使得f(Xo)=ч，对于这个定理可以扩大为f max与f min之间的任何数ч都可以找到一点Xo属于(a，b) 使得f(Xo)=ч，这便扩大了定义的使用范围.而介值定理在运用过程中大多演化为了他的推论(根的存在定理)也就是零点定理，用几何图示能清楚看到如果f(a)与f(b)异号，因为f为连续函数那么必定与X轴有交点，而交点则为零点.函数连续性在几何上的表示方法研究