本文将从非命题的角度阐述反证法推出矛盾中的逻辑方法.希望对各位数学系的同学有帮助!

摘要：能够判断真假的语句叫命题，我们把命题的否定形式称为非命题.一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样两个命题叫做互为逆否命题.反证法即是证明命题的逆否命题。

关键词：非命题;逆命题;否命题;逆否命题;反证法

一、非命题

非命题是高中数学的简易逻辑中出现的概念，而在实际生活中，非命题类的语句也经常用到.非是否定的意思，对命题进行否定得出的新命题，我们称之为非命题.所以，当某一个命题为真命题时，将之否定得到的就是假命题，同样，若一个命题为假命题时，将之否定则是一个正确的命题，即真命题.一般情况下的这样两个命题称为一组互非命题.

我们来看一句话，为表述方便，把它记为A：0的倒数是0.这句话可以判断真假，我们称之为命题，又因为1/0在初等数学中没有意义，所以命题A是假命题，那么，将之否定将得到真命题，也即非A命题：0的倒数不是0是真命题.这是数学上的推理，然而在我们的日常口语习惯中，0的倒数既然没有意义，也就是前提不存在，那么结果无论是等于0还是不等于0都是不正确的.数学与逻辑有矛盾吗?

数学是头脑的体操，是逻辑的推演，结论是确定的、可控的，我们说数学的世界里没有骑墙派，当然不会产生矛盾.我们把刚才的命题数学化，写成条件命题的标准形式，若p则q形式，改写如下：若x=0则1/0=0;那么非命题为若x=0则1/00，我们将1/00理解成：这个整体可能根本不存在(无意义)，也可能取某一个非零的值.换言之，它不仅包括原命题的反面内涵(也即非零值)，还包括与之相关联、相和谐的一系列的相关外延.正是这一系列内涵与外延的独立，才使得利用逆否命题可以证明原命题.

二、反证法

反证法可以用来证明任何学科领域的命题.一般的，由证明若p则q形式，转而证明非q推出一系列结论，从而推出一个全新结论t，其中t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定非p为假，推出p为真命题.证明的一般步骤一般有三个：

(1)假设命题的结论不成立，即假设结论不成立，即假设结论的反面成立;

(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾;

(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.下面对这三个步骤详加说明.

步骤一：正确地作出反设.否定结论是正确运用反证法的前提，需注意所作出的反设必须包括与结论相反的所有情况，而提出否定假设相当于增加了一个已知条件.

步骤二：推出矛盾是用反证法证明命题的关键.在证明和推导过程中，已知的一些定义、定理、已知条件都正常应用，提出的反设也作为一个已知条件参与证明和推导.需要注意的是如果否定事项只有一个，我们只要把这个反面驳倒，就能肯定原命题成立，如果否定事项不止一个时，就必须将结论所有否定逐一驳倒，才能肯定原命题成立.

步骤三：矛盾判定.需要针对具体问题看待矛盾，一般情况下，是与已知条件矛盾，特殊情况下，虽与已知条件相符(已知条件可在步骤一中参与推理)，但与其他定义、定理、公理、事实等矛盾.

步骤四：既然产生了矛盾，必须推究产生的原因，因为在步骤二中的推演是合乎逻辑的正常推导，所以问题只能出在步骤一上，换言之，其反设有问题，由错误的条件产生的矛盾的结论，从而证明了原命题的正确.

三、逆否命题

在逻辑中的命题除了陈述和判定的语气、结构外，有些是在一定条件下的判断，也即：

在某种条件下成立某一结论，这种情形通俗点说就是如果怎样则结果如何，在数学上称为若则命题，一般表示为若p则q，而与之等价的命题为若非q则非p，这种命题将原命题的条件用非命题的形式作为新命题的结论，将结论的非命题作为新命题的条件，我们称之为原命题的逆否命题.

在本质上讲，原命题与逆否命题的等价性是反证法证明的逻辑基础.原命题为若p则q，则反证法的第一个步骤寻找反设，也即是认定非q的过程，步骤二的推导，也即若非q则非p的过程，步骤三的矛盾判定，实际就是非p的判断，步骤四本质上就是原命题与其逆否命题的等价认定过程.

综合以上，我们知道，逻辑判断过程中的逆向思维是以非命题形式作为基础，以逆否命题作为桥梁，以反证法作为实践手段实现的，而且，在逆向思维的应用中，已知的情况以及使之成立的一切条件和与之相符相伴相和谐的一切都在逆向判断的范畴内，所以逻辑是思维的过程，而数学是思维发展的产物，逻辑与数学是共生共存的关系，并且两者会相互促进、共同发展.

参考文献：

[1]顾银丽.反证法在高中数学中的应用.数学学习与研究，2011(15).

[2]王永建.生活中的反证法.时代数学学习，2004(9).

[3]段耀勇.从反证法的渊源透视反证法教学难问题.大学数学，22卷2期.

[4]曹金敏.浅谈数学证明中的反证法.时代交际，2010(12)

从非命题到反证法