浅析计算科学行列式的应用

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一、引言行列式不仅是研究高等代数的一个重要工具，它也是线性代数理论中极其重要的组成部分.在高等代数中，行列式的求解是非常重要的，但是直接计算行列式往往是困难和繁琐的，特别当行列式的元素是字母时更加明显.根据这一情况，对行列式计算的常见方法进行了总结.计算行列式的常见方法有化三角形法，拆分法，降阶法，升阶法，待定系数法、数学归纳法，乘积法和加边法等.另外对行列式中存在的二条线性行列式、两岸行列式、上(下)三角形行列式、二条线叉型行列式及箭型行列式等特殊构造的行列式的公式进行了归纳.行列式的产生和最早的应用都是在解线性方程组中，现在的应用范围已拓展得较为广泛，成为数学、物理学以及工科许多课程的重要工具.对这些应用技巧进行探讨归纳，不仅有课程建设的现实意义，而且有深刻的理论意义.通过介绍一些具体的实例，说明行列式在证明明微分中值定理、求逆矩阵及矩阵特征值、求解线性方程组、求解几何图形方程和计算图形面积体积等多个方面中的实际应用.

二、行列式的发展与应用行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨发明的。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。 1750年，瑞士数学家克拉默(1704-1752)在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克拉默法则。稍后，数学家贝祖 (1730-1783)将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的解题技巧和它的简单应用进行总结归纳。作为行列式本身而言，我们可以发现它的两个基本特征：当行列式是一个三角形行列式时，计算将变得十分简单，于是将一个行列式化为三角形行列式便是行列式计算的一个基本思想;行列式的另一特征便是它的递归性，即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶从而揭示其内部规律也是我们的一个基本想法，即递推法。这两种方法也经常一起使用，而其它方法如：加边法、降阶法、数学归纳法、拆行(列)法、因式分解法等可以看成是它们衍生出的具体方法。同时行列式的应用早已超出了代数的范围，成为解析几何，数学分析，概率统计等数学分支的基本工具。

三、行列式方法及应用行列式的计算，高等代数中重要内容之一，最常用的是利用行列式的性质和展开定理，需要熟练的掌握，根据其具体特点采用不同的计算方法，本文对行列式的解题方法进行了总结归纳。将一个行列式化为三角形行列式，是行列式计算的一个基本思想，也是化三角形法的思想精髓。行列式的另一特征便是它的递归性，即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶从而揭示其内部规律也是我们的一个基本想法，即递推法。这两种方法也经常一起使用。而其它方法如：提取公因式法、利用拉普拉斯(Laplace)定理法、利用范德蒙(Vandermonde)行列式法、利用乘法定理法、裂项法、升阶法、公式法、规律缺损补足法、特征根法、数学归纳法、利用行列式乘法规则等可以看成是它们衍生出的具体方法。1.求通过定点的曲线方程与曲面方程.线性方程组的理论中有一个基本结论为：含有n个方程n个末知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件是该线性方程组系数行列式等0.利用这个结论，可以利用行列式来求通过定点的曲线方程与曲面方程。2.证明等式和不等式。我们知道，把行列式的某一行(列)的元素乘以同一数后加到另一行(列)的对应元素上，行列式值不变，如果行列式中有一行(列)的元素全部是零，那么这个行列式的值等于零.利用行列式的这些性质，我们可以构造行列式来证明等式和不等式。3.化三角形法。此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表示为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的N阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号。4.利用递推关系法。所谓利用递推关系法，就是先建立同类型n阶与n-1阶(或更低阶)行列式之间的关系――递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值。5.提取公因式法。若行列式满足下列条件之一，则可以用此法：(1)有一行(列)元素相同，称为aaa，，，型;(2)有两行(列)的对应元素之和或差相等，称为邻和型;(3)各行(列)元素之和相等，称为全和型。满足条件(1)的行列式可直接提取公因式a变为1，1，，1型，于是应用按行(列)展开定理，使行列式降一阶。满足(2)和(3)的行列式都可以根据行列式的性质变为满足条件(1)的行列式，间接使用提取公因式法。参考文献：[1] 王文省，赵建立，于增海，王廷明.高等代数.山东大学出版社，2004.5.[2] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2002.[3] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003.浅析计算科学行列式的应用