证明直线与圆相切的方法

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证明直线与圆相切主要有以下两种方法：

一、根据切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

当已知直线与圆有公共点时，常用此法。辅助线是连结公共点和圆心，只要设法证明直线与半径垂直即可。

例1. (2004年江苏省淮安市中考题)

已知：如图1，在△ABC中，BAC的平分线AD交△ABC的外接圆⊙O于点D，交BC于点G。

图1

(1)连结CD，若AG=4，DG=2，求CD的长;(解略)

(2)过点D作EF∥BC，分别交AB、AC的延长线于点E、F。求证：EF与⊙O相切。

证明：(2)连结OD，由1=2，

得，则ODBC 所以因为EF∥BC，所以BCD=CDF

从而即EFOD，所以EF与⊙O相切。

例2. (2002年湖北省黄冈市中考题)

如图2，BE是⊙O的直径，点A在BE的延长线上，弦PDBE，垂足为C，连结OD，且AOD=APC。

(1)求证：AP是⊙O的切线。

(2)略。

图2

证明：连结OP，因为PDBE，OP=OD

所以POB=DOB，而APD=DOB

所以POB=APD

由PDBE得：POB+OPC=90

即APD+OPC=90

所以AP是⊙O的切线

二、根据直线与圆的位置关系

若圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切。

当题设中不能肯定直线与圆有公共点时，常用此法。辅助线是过圆心作该直线的垂线段，只要设法证明垂线段等于半径即可。

例3. (2003年甘肃省中考题)

如图3，Rt△ABC中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心、r为半径作圆，当r=2.4时，AB与圆有怎样的位置关系?为什么?

图3

解：作CDAB，垂足为D，则

由CDAB=ACBC得：即AB与圆相切。

例4. 如图4，AB是⊙O的直径，ACl，BDl，C、D为垂足，且AC+BD=AB，求证：直线l与⊙O相切。

图4

证明：过O作OEl，E为垂足，则

OE∥AC∥BD，又AO=BO

所以而，则即垂线段OE等于圆的半径，所以直线l是⊙O的切线。

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