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许多数学问题，表面上看来似与面积无关，但灵活运用面积法，往往能使问题顺利获解，下面举例介绍面积法的运用。

一. 用面积法证线段相等

例1. 已知：如图1，AD是△ABC的中线，CFAD于F，BEAD交AD的延长线于E。

求证：CF=BE。

图1

证明：连结EC，由BD=DC得，

，

两式两边分别相加，得

故

所以BE=CF。

注：直接由得更简洁。

二. 用面积法证两角相等

例2. 如图2，C是线段AB上的一点，△ACD、△BCE都是等边三角形，AE、BD相交于O。

求证：AOC=BOC。

图2

证明：过点C作CPAE，CQBD，垂足分别为P、Q。

因为△ACD、△BCE都是等边三角形，

所以AC=CD，CE=CB，ACD=BCE，

所以ACE=DCB

所以△ACE≌△DCB

所以AE=BD，

可得CP=CQ

所以OC平分AOB

即AOC=BOC

三. 用面积法证线段不等

例3. 如图3，在△ABC中，已知ABAC，A的平分线交BC于D。

求证：BDCD。

图3

证明：过点D分别作DEAB、DFAC，垂足分别为E、F

设BC边上的高为h。

因为BAD=DAC

所以DE=DF

因为

且ADAC

所以即

所以BDCD

四. 用面积法证线段的和差

例4. 已知：如图4，设等边△ABC一边上的高为h，P为等边△ABC内的任意一点，PDBC于D，PEAC于E，PFAB于F。

求证：PE+PF+PD=h。

图4

证明：连结PA、PB、PC

因为，又所以。

因为△ABC是等边三角形

所以

即PE+PF+PD=h

五. 用面积法证比例式或等积式

例5. 如图5，AD是△ABC的角的平分线。

求证：。

图5

证明：过D点作DEAB，DFAC，垂足分别为E、F。

因为AD是△ABC的角的平分线，

所以DE=DF，

则有。

过A点作AHBC，垂足为H，

则有即

六. 用面积比求线段的比

例6. 如图6，在△ABC中，已知BC、AC边上的中线AD、BF交于M。

求证：。

图6

证明：连结CM，过B作BGAD交AD延长线于G，则

，所以。又，所以，所以。

巧用面积法解题方法

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