一元二次方程根的判别式的综合应用

一、知识要点：

1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式=b2-4ac。

定理1 ax2+bx+c=0(a0)中，0方程有两个不等实数根. 定理2 ax2+bx+c=0(a0)中，=0方程有两个相等实数根. 定理3 ax2+bx+c=0(a0)中，0方程没有实数根.

2、根的判别式逆用(注意：根据课本反过来也成立)得到三个定理。

定理4 ax2+bx+c=0(a0)中，方程有两个不等实数根0. 定理5 ax2+bx+c=0(a0)中，方程有两个相等实数根=0. 定理6 ax2+bx+c=0(a0)中，方程没有实数根0.注意：(1)再次强调：根的判别式是指=b2-4ac。

(2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a0.

二.根的判别式有以下应用：

① 不解一元二次方程，判断根的情况。

例1. 不解方程，判断下列方程的根的情况：

(1) 2x2+3x-4=0 (2)ax2+bx=0(a0)

解：(1) 2x2+3x-4=0

a=2, b=3, c=-4,

∵=b2-4ac=32-42(-4)=410

方程有两个不相等的实数根。

(2)∵a0, 方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，

∵=(-b)2-4a0=b2,

∵无论b取任何关数，b2均为非负数，

0，故方程有两个实数根。

② 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。

例2.k的何值时?关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)没有实数根;

分析：由判别式定理的逆定理可知(1)0;(2)=0;(3)0;

解：=(-4)2-4(k-5)=16-4k+20=36-4k

(1)∵方程有两个不相等的实数根，

0，即36-4k0.解得k9

(2)∵方程有两个不相等的实数根，

=0，即36-4k=0.解得k=9

(3)∵方程有两个不相等的实数根，

0，即36-4k0.解得k9

③ 证明字母系数方程有实数根或无实数根。

例3.求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。

分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。

证明： =(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)

=4m2-4(m4+5m2+4)

=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)

=-4(m2+2)2

∵不论m取任何实数(m2+2)20,

-4(m2+2)20, 即0.

关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。

小结：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤：

(1)计算(2)用配方法将恒等变形(3)判断的符号(4)结论.其中难点是的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：a2,a2+2,(a2+2)2, -a2, -(a2+2)2的代数式，从而判定正负，非负等情况。

④ 应用根的判别式判断三角形的形状。

例4.已知：a、b、c为ABC的三边，当m0时，关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0有两个相等的实数根。求证ABC为Rt。证明：整理原方程：

方程c(x2+m)+b(x2-m)- 2ax =0. 整理方程得：cx2+cm+bx2-bm-2ax =0 (c+b)x2-2ax +cm-bm=0根据题意：

∵方程有两个相等的实数根，

=(-2a)2-4(c+b)(cm-bm)=04ma2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0

ma2-c2m+b2m=0

=m(a2+b2-c2)=0

又∵ m0, a2+b2-c2=0 a2+b2=c2 又∵a,b,c为ABC的三边， ABC为Rt。

⑤ 判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式

例

5、(1)若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是( );

(2)若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是();

分析：可以令二次三项等于0，若二次三项是完全平方式，则方程有两个相等的实数根。即=0

解：(1)令16a2+ka+1=0

∵方程有两个相等的实数根，

=k2-41625=0

k=+40或者-40

(2)令ka2+4a+15=0

∵方程有两个相等的实数根，=16-4k=0 k=4

⑥ 可以判断抛物线与直线有无公共点

例6:当m取什么值时，抛物线与直线y=x+2m只有一个公共点?

解:列方程组消去y并整理得x2+x-m-1=0，∵抛物线与直线只有一个交点， =0，即 4m+5=0( 说明：直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。

)

⑦ 可以判断抛物线与x轴有几个交点

分析：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点 (1)当y=0时，即有ax2+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax2+bx+c=0。可见，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况确定的，而决定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形：

① 当时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x

1、x2，则抛物线与x轴的两个交点坐标为(x1，0)(x2，0)。

②当时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是()。 ③当时，抛物线与x轴没有交点。例

7、判定下列抛物线与x轴交点的个数：

(1) (2) (3)解：(1)=16-12=40 抛物线与x轴有两个交点。

(2)=36-36=0 抛物线与x轴只有一个公共点。

(3)=4-16=-120 抛物线与x轴无公共点。

例

8、已知抛物线(1)当m取什么值时，抛物线和x轴有两个公共点?

(2)当m取什么值时，抛物线和x轴只有一个公共点?并求出这个公共点的坐标。

(3)当m取什么值时，抛物线和x轴没有公共点?

解：令y=0，则 =4-4(m-1)= -4m+8(1)∵抛物线与x轴有两个公共点， 0，即 4m+80 m2