总结一下数学中解不等式问题的主要方法

[学习中的四大不等式，你知道吗]学习时间≠考试成绩谁都想考试得高分，这没错，但把成绩的提高视为学习时间无限延长，那就大错特错了。因为学习效果=学习效率×学习时间，只有在学习效率不变的情况下，学习结果才和...+阅读

总结一下数学中解不等式问题的主要方法

题目高中数学复习专题讲座几种常见解不等式的解法高考要求不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式重难点归纳解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题

（1）熟练掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式（组）的解法

（2）掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法

（3）掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法

（4）掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法

（5）在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式

（6）对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论典型题例示范讲解例1已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，且f

(1)=1，若m、n∈[-1,1],m+n≠0时 >0

(1)用定义证明f(x)在[-1,1]上是增函数；

（2）解不等式 f(x+ )0，又 x1-x2R}

(3)解由

（1）可知f(x)在[-1,1]上为增函数，且f

(1)=1，故对x∈[-1,1]，恒有f(x)≤1，所以要f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立，即要t2-2at+1≥1成立，故t2-2at≥0，记g(a)=t2-2at，对a∈[-1,1],g(a)≥0，只需g(a)在[-1,1]上的最小值大于等于0,g(-1)≥0,g

(1)≥0，解得，t≤-2或t=0或t≥2 ∴t的取值范围是 {t|t≤-2或t=0或t≥2} 例2设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M，如果M [1,4]，求实数a的取值范围命题意图考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系知识依托本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想错解分析 M= 是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a的不等式要全面、合理，易出错技巧与方法该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗解 M [1,4]有两种情况其一是M= ，此时Δ0，分三种情况计算a的取值范围设f(x)=x2 -2ax+a+2，有Δ=（-2a）2-(4a+2)=4(a2-a-2)

(1)当Δ0时，a2 设方程f(x)=0的两根x1,x2，且x11(a≠1) 解原不等式可化为 >0，①当a>1时，原不等式与（x- ）(x-2)>0同解由于 ∴原不等式的解为（-∞，）∪（2，+∞） ②当a1时解集为（-∞，）∪（2，+∞）；当01，则a的取值范围是（）A （-∞，-2）∪（- ，+∞） B (- , )C （-∞，-2）∪（- ，1） D (-2，- )∪（1，+∞）2 已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)>0的解集是（a2,b）,g(x)>0的解集是（，），则f(x)·g(x)>0的解集是__________ 3 已知关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，则a的取值范围是_______ 4 已知适合不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值为3

(1)求p的值；

（2）若f(x)= ，解关于x的不等式f--1(x)>(k∈R+)5 设f(x)=ax2+bx+c，若f

(1)= ，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式 x2+ ≤f(x)≤2x2+2x+ 对一切实数x都成立，证明你的结论 6 已知函数f(x)=x2+px+q，对于任意θ∈R，有f(sinθ)≤0，且f(sinθ+2)≥2

(1)求p、q之间的关系式；

（2）求p的取值范围；

（3）如果f(sinθ+2)的最大值是14，求p的值并求此时f(sinθ)的最小值 7 解不等式loga(x- )>18 设函数f(x)=ax满足条件当x∈（-∞，0）时，f(x)>1；当x∈（0,1 时，不等式f(3mx-1)>f(1+mx-x2)>f(m+2)恒成立，求实数m的取值范围参考答案 1 解析由f(x)及f(a)>1可得 ① 或 ② 或 ③解①得aa2∵f(x),g(x)均为奇函数，∴f(x)0可得 ∴x∈（a2，）∪（- ，-a2）答案（a2，）∪（- ，-a2）3 解析原方程可化为cos2x-2cosx-a-1=0，令t=cosx，得t2-2t-a-1=0，原问题转化为方程t2-2t-a-1=0在[-1,1]上至少有一个实根令f(t)=t2-2t-a-1，对称轴t=1，画图象分析可得解得a∈[-2,2] 答案 [-2,2]4 解

（1）∵适合不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值为3，∴x-3≤0，∴|x-3|=3-x 若|x2-4x+p|=-x2+4x-p，则原不等式为x2-3x+p+2≥0，其解集不可能为{x|x≤3}的子集，∴|x2-4x+p|=x2-4x+p ∴原不等式为x2-4x+p+3-x≤0，即x2-5x+p-2≤0，令x2-5x+p-2=(x-3)(x-m)，可得m=2,p=8

(2)f(x)= ，∴f--1(x)=log8 (-1log8 ，∴log8(1-x)1-k ∵-15 解由f

(1)= 得a+b+c= ，令x2+ =2x2+2x+ x =-1，由f(x)≤2x2+2x+ 推得f(-1)≤ 由f(x)≥x2+ 推得f(-1)≥ ，∴f(-1)= ，∴a-b+c= ，故2(a+c)=5,a+c= 且b=1，∴f(x)=ax2+x+( -a) 依题意 ax2+x+( -a)≥x2+ 对一切x∈R成立，∴a≠1且Δ=1-4(a-1)(2-a)≤0，得（2a-3）2≤0，∴f(x)= x2+x+1易验证 x2+x+1≤2x2+2x+ 对x∈R都成立 ∴存在实数a= ,b=1,c=1，使得不等式 x2+ ≤f(x)≤2x2+2x+ 对一切x∈R都成立 6 解

（1）∵-1≤sinθ≤1,1≤sinθ+2≤3，即当x∈[-1,1]时，f(x)≤0，当x∈[1,3]时，f(x)≥0，∴当x=1时f(x)=0 ∴1+p+q=0，∴q=-(1+p)

(2)f(x)=x2+px-(1+p)，当sinθ=-1时f(-1)≤0，∴1-p-1-p≤0，∴p≥0

(3)注意到f(x)...

如何提高数学不等式的解题技巧？

1）解一元一次不等式和解一元一次方程相类似，但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。

（2）解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集。列一元一次不等式（组）解决实际问题，掌握解不等式应用题的步骤：

（1）找出实际问题的不等关系，设定未知数，列出不等式（组）；

（2）解不等式（组）；

（3）从不等式组的解集中求出符合题意的答案。、一元一次方程的解法及其解的三种情况：咳

（1）解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和将未知数的系数化为1; (2)最简一元一次方程ax=b的解有以下三种情况： ①当 a≠0时，方程有且仅有一个解； ②当 a=0,b≠0时，方程无解； ③当 a=0,b=0时，方程有无穷多个解. 其他数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。六年级的同学们很快就要小学毕业，中学的大门已经向我们敞开。为了能进一步学好数学，有必要掌握初中数学的特点尤其是解题方法。下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。同样这些方法也能给你们现在的学习有些帮助。请同学们把它作为资料好好保存，当然，以后全部学会弄懂，保存大脑当中再好不过了。

1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R,a≠0)根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程（组），解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。

6、构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程（组）、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。

7、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法（结论的反面只有一种）与穷举反证法（结论的反面不只一种）。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：

（1）反设；

（2）归谬；

（3）结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大（小）于/不大（小）于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有（n一1）个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

对于解不等式有哪些方法

1.不等式的基本性质：性质1：如果a>b,b>c，那么a>c（不等式的传递性）. 性质2：如果a>b，那么a+c>b+c（不等式的可加性）. 性质3：如果a>b,c>0，那么ac>bc；如果a>b,cd，那么a+c>b+d. 性质5：如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd. 性质6：如果a>b>0,n∈N,n>1，那么an>bn，且. 例1：判断下列命题的真假，并说明理由. 若a>b,c=d，则ac2>bd2；（假）若，则a>b；（真）若a>b且abb；（真）若|a|b2；（充要条件）命题A:a命题A：，命题B:0说明：本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程，在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性. a,b∈R且a>b，比较a3-b3与ab2-a2b的大小.（≥）说明：强调在最后一步中，说明等号取到的情况，为今后基本不等式求最值作思维准备. 例4：设a>b,n是偶数且n∈N*，试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小. 说明：本例条件是a>b，与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件，为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b，可由三种情况

（1）a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想. 练习： 1.若a≠0，比较（a2+1）2与a4+a2+1的大小.（>） 2.若a>0,b>0且a≠b，比较a3+b3与a2b+ab2的大小.（>） 3.判断下列命题的真假，并说明理由.

（1）若a>b，则a2>b2；（假）

（2）若a>b，则a3>b3；（真）

（3）若a>b，则ac2>bc2；（假）

（4）若，则a>b；（真）若a>b,c>d，则a-d>b-c.（真）.