1.国际象棋比赛中，胜一局得1分，平一局得0.5分，负一局得0分。今有8名选手进行单循环比赛，每两人均赛一局。比赛完后，发现各选手的得分均不相同，当按得分由大到小排列好名次后，发现第4名选手得4.5分，第二名的得分等于最后四名选手得分总和。问前三名选手各得多少分？说明理由。 解答：设第I名运动员得分为AI，得分为A1>A2>A3>A4>A5>A6>A7>A8 由于8名选手每人参加7局比赛，胜的最多者得7分，所以AI或=5.5则A2》=6 A1》=6.5 于是A1+A2+A3》=6.5+6+5.5=18 由

（1） A4+A5+A6+A7+A8《=10 但A4=4.5 所以A5+A6+A7+A8〈=`10-4.5=5.5 与A2〉=6矛盾 古A3〈5.5 这样A1+A2+....A8=28-5-4.5=18.5 所以A1+2A2=18.5 若A2=5.5 则A1=18.5-11=7.5〉=A1 不可能。 若A2》=6.5 A1=18.5-2A2《=18.5-13=5.5〈A2 矛盾 所以A2=6 于是前三名选手得分一次为6.5 6 5 2.X的8次方+X的7次方+1 分解因式 解法： X的8次方+X的7次方+1 =X的8次方+X的7次方+X的6次方+X的5次方+X的4次方+X的3次方+X的2次方+X+1-X的6次方-X的5次方-X的4次方-X的3次方-X的2次方-X =X的6次方（X的2次方+X+1）+X的3次方（X的2次方+X+1）+(X的2次方+X+1)-X的4次方（X的2次方+X+1）-X(X的2次方+X+1) =(X的6次方-X的4次方+X的3次方-X+1)(X的2次方+X+1) 3.在等腰直角三角形ABC的斜边上取异于B C的两点 E F 使 角EAF =45度 求证 把EF BE CF做边围成的三角形是直角三角形 证明：由A作垂线交BC于H。 设角BAE=y，设BH=AH=CH=1。则 EH = tan(45-y) = (1-tan(y))/(1+tan(y)) HF = tan(y) EF = EH + HF = (1-tan(y))/(1+tan(y)) + tan(y) BE = 1-EH= 2tan(y)/(1+tan(y)) CF = 1-tan(y) 可以代如x = tan(y)简化式子得 EF = x + (1-x)/(1+x) BE = 2x/(1+x) CF = 1-x 然后平方，简化，最后可得 CF^2+BE^2 = EF^2 -->这三条线段可做成直角三角形。 4. 〉1.甲容器有15%的盐水30升，乙容器有18%的盐水20升，如果两个容器中各加等量的水，使它们的浓度相等，那么加入的水是多少？ 〉2.某项工程，如果甲单独做，正好在规定的时间完成；如果乙单独做，则比规定的日期要多3天才完工，现在甲乙两队合作2天后，再由乙队单独做，正好在规定的日期完工，问规定是多少天？ 〉3.一水池有甲 乙两个进水管，同时打开甲 乙两管4小时后，关闭乙管，甲管又用了6个小时把水池注吗.以知甲管开2小时30分和乙管开2小时的注水量相同.求单独开放甲乙两管分别要几小时可把空水池注满？

1、 设应加入x升水。

（1）求甲乙容器的含盐量

（2）各加入x升水后浓度相等 30*15%/(30+x)=20*18%/(20+x)

2、 设规定时间为x，把总工作量看成1。则甲每天做1/x的工作， 乙每天做 1/(x+3) 甲乙合作2天完成的工作为 2*1/x + 2*1/(x+3) 甲乙合作2天后剩余的工作 1-[2*1/x + 2*1/(x+3)] 由乙单独做剩余的工作需要的天数 = 剩余日工作量/乙每天的工作量 =[1-[2*1/x + 2*1/(x+3)]]/[1/(x+3)] 规定的天数=甲乙合作的天数 + 乙单独做剩余的工作需要的天数 即 x=2+ [1-[2*1/x + 2*1/(x+3)]]/[1/(x+3)]

3、设水池总水量为1，甲需x小时注满水池，乙需y小时。则甲每小时注水1/x，乙每小时注1/y. 4/x +4/y + 6/x =1 方程1（同时打开甲 乙两管4小时后，关闭乙管，甲管又用了6个小时把水池注满） 2.5*1/x = 2*1/y 方程2 （甲管开2小时30分和乙管开2小时的注水量相同）