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解：（1）过A做AD垂直BC与D

当四边形MPQN是矩形时，PM=QN，此时D是PQ中点，所以PD=1

t=CP=CD-PD=1

(2)因为CP=t，所以BQ=1-t,PM=根号3*t,NQ=根号3*(1-t)

而四边形MPQN是梯形

S=[根号3*t+根号3*(1-t)]*1/2=根号3/2

所以S是定值

(3)当角AMN=30°时，三角形CMP相似于三角形ANM

即AN=2AM AN=2-2t,AM=2t

所以（2-2t）=4t 所以t=1/3

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