数形结合的思想方法在解数学题中的作用

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数形结合思想在解题中的应用 1. 数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。 2. 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：

（1）实数与数轴上的点的对应关系；

（2）函数与图象的对应关系；

（3）曲线与方程的对应关系；

（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；

（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式。 3. 纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。 4. 数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。【例题分析】例1. 若关于的方程的两根都在之间，求的取值范围。分析：令，其图象与轴交点的横坐标就是方程的解，由的图象可知，要使二根都在之间，只需同时成立，解得，故例2. 解不等式常规解法：原不等式等价于（I）或（II）解（I）得；解（II）得综上可知，原不等式的解集为数形结合解法：令，则不等式的解就是使的图象在的上方的那段对应的横坐标。如下图，不等式的解集为，而可由解得，故不等式的解集为例3. 已知，则方程的实根个数为（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个分析：判断方程的根的个数就是判断图象的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选B。例4. 如果实数满足，则的最大值为（） A. B. C. D. 分析：等式有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，圆心为，半径，（如图），而则表示圆上的点与坐标原点（0,0）的连线的斜率，如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点在以（2,0）为圆心，以为半径的圆上移动，求直线的斜率的最大值，由下图可见，当点在第一象限，且与圆相切时，的斜率最大，经简单计算，得最大值为例5. 已知满足的最大值与最小值。分析：对于二元函数在限定条件下求最值问题，常采用构造直线的截距的方法来求之。令，原问题转化为：在椭圆上求一点，使过该点的直线斜率为3，且在轴上的截距最大或最小，由图形知，当直线与椭圆相切时，有最大截距与最小截距。由，得，故的最大值为13，最小值为。例6. 若集合，集合，且，则的取值范围为___________。分析：，显然，表示以（0,0）为圆心，以3为半径的圆在轴上方的部分，（如图），而则表示一条直线，其斜率，纵截距为，由图形易知，欲使，即是使直线与半圆有公共点，显然的最小逼近值为，最大值为，即例7. 点是椭圆上一点，它到其中一个焦点的距离为2，为的中点，表示原点，则（） A. B. C. 4 D. 8 分析：

（1）设椭圆另一焦点为，（如下图），则而又注意到各为的中点是的中位线

（2）若联想到第二定义，可以确定点的坐标，进而求中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出，但这样就增加了计算量，方法较之

（1）显得有些复杂。例8. 已知复数满足，求的模与辐角主值的范围。分析：由于有明显的几何意义，它表示复数对应的点到复数对应的点之间的距离，因此满足的复数对应的点在以（2,2）为圆心，半径为的圆上，（如下图），而表示复数对应的点到原点的距离，显然，当点，圆心，点三点共线时，取得最值，的取值范围为同理，当点在圆上运动变化时，当且仅当直线与该圆相切时，在切点处的点的辐角主值取得最值，利用直线与圆相切，计算，得，即即例9. 求函数的值域。解法一（代数法）：由得，，解不等式得函数的值域为解法二（几何法）：的形式类似于斜率公式，表示过两点的直线的斜率。由于点在单位圆上（见下图）显然，设过的圆的切线方程为，则有，解得即函数值域为例10. 求函数的最值。分析：由于等号右端根号内同为的一次式，故作简单换元，无法转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。解：设，则且所给函数化为以为参数的直线族，它与椭圆在第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图），相切于第一象限时，取最大值