特征向量-定义数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非退化的向量，其方向在该变换【2】下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。图1给出了一幅图像的例子。一个变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。 这些概念在纯数学和应用数学的很多领域发挥着巨大的作用—在线性代数，泛函分析，甚至在一些非线性的情况中也有着显著的重要性。

“特征”一词来自德语的eigen。1904年希尔伯特首先在这个意义下使用了这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。 eigen一词可翻译为“自身的”，“特定于。。。的”，“有特征的”或者“个体的”—这强调了特征值对于定义特定的变换有多重要。定义空间上的变换—如平移（移动原点），旋转，反射，拉伸，压缩，或者这些变换的组合；以及其它变换—可以通过它们在向量上的作用来显示。

向量可以用从一点指向另一点的箭头来表示。变换的特征向量是指在变换下不变或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量【3】。特征向量的特征值是它所乘的那个缩放因子。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。 变换的主特征向量是对应特征值最大的特征向量。特征值的几何重次是相应特征空间的维数。

有限维向量空间上一个变换的谱是其所有特征值的集合。例如，三维空间旋转的特征向量是沿着旋转轴的一个向量，相应的特征值是1，相应的特征空间包含所有和该轴平行的向量。 该特征空间是一个一维空间，因而特征值1的几何重次是1。特征值1是旋转的谱当中唯一的实特征值。