谁帮我总结下高中数学中常用的数列求和裂项公式

[省经济社会发展总体要求和主要目标]年是我省全面落实科学发展观、构建和谐社会的重要一年。当今世界，经济全球化深入发展，生产要素跨国流动和产业转移步伐加快，世界各国经济相互联系和影响日益加深。我国经济在宏...+阅读

裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

(1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

(2)1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

(3)1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

(4)1/（√a+√b）=[1/(a-b)]（√a-√b）

(5) n·n!=(n+1)!-n!

[例1] 【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.

解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）

则 Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）

= 1-1/(n+1)

= n/(n+1)

[例2] 【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1) 的前n项和.

解：an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项）

则 Sn=[1*2*3-0*1*2+2*3*4-1*2*3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项求和）

= (n-1)n(n+1)/3

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

注意：余下的项具有如下的特点

1余下的项前后的位置前后是对称的。

2余下的项前后的正负性是相反的。

易错点：注意检查裂项后式子和原式是否相等，典型错误如：1/(3*5)=1/3-1/5（等式右边应当除以2）

附：数列求和的常用方法：

公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。（关键是找数列的通项结构）

1、分组法求数列的和：如an=2n+3n

2、错位相减法求和：如an=n·2^n

3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)

4、倒序相加法求和：如an= n

5、求数列的最大、最小项的方法：

① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3

② （an>0）如an=

③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性如an= an^2+bn+c(a≠0)

6、在等差数列中，有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当 a1>0,d<0时，满足{an}的项数m使得Sm取最大值.

(2)当 a1<0,d>0时，满足{an}的项数m使得Sm取最小值.

在解含绝对值的数列最值问题时，注意转化思想的应用。