有关圆锥曲线等图形的有关知识点的归纳

[有关于运动会后感想的作文]参加完运动会后感想5月12日—13日，以“阳光运动，快乐成长”为主题的“临朐县2015年‘亿佰家杯’中小学春季田径运动会”在柳山镇柳山初中隆重举行。从开幕式到闭幕式的整个过...+阅读

圆锥曲线年级：高二科目：数学时间：12/12/200921:11:36 新 6046469圆锥曲线中重要的知识点总结一下，还有一些经典例题。Gif 解：同学你好，老师提供以下资料供你参考，希望对你有所帮助：

一、圆锥曲线的定义 1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P||PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。 2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF1|-|PF2||=2a,(2a0)或+=1(a>b>0)（其中，a2=b2+c2） 2.双曲线：-=1(a>0, b>0)或-=1(a>0, b>0)（其中，c2=a2+b2） 3.抛物线：y2=±2px(p>0),x2=±2py(p>0)

三、圆锥曲线的性质 1.椭圆：+=1(a>b>0)

(1)范围：|x|≤a,|y|≤b

(2)顶点：（±a,0）,(0，±b)

(3)焦点：（±c,0）

(4)离心率：e=∈（0,1）

(5)准线：x=± 2.双曲线：-=1(a>0, b>0)

(1)范围：|x|≥a, y∈R

(2)顶点：（±a,0）

(3)焦点：（±c,0）

(4)离心率：e=∈（1，+∞）

（5）准线：x=±

（6）渐近线：y=±x 3.抛物线：y2=2px(p>0)

(1)范围：x≥0, y∈R

(2)顶点：（0,0）

(3)焦点：（，0）

(4)离心率：e=1

(5)准线：x=-

四、例题选讲：例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。解：由题：2b=2,b=1,a=2,c==，则椭圆中心到准线的距离：==。注意：椭圆本身的性质（如焦距，中心到准线的距离，焦点到准线的距离等等）不受椭圆的位置的影响。例2.椭圆+=1的离心率e=，则m=___________。解：

（1）椭圆的焦点在x轴上，a2=m,b2=4,c2=m-4,e2===m=8。

(2)椭圆的焦点在y轴上，a2=4,b2=m,c2=4-m,e2===m=2。注意：椭圆方程的标准形式有两个，在没有确定的情况下，两种情况都要考虑，切不可凭主观丢掉一解。例3.如图：椭圆+=1(a>b>0),F1为左焦点，A、B是两个顶点，P为椭圆上一点，PF1⊥x轴，且PO//AB，求椭圆的离心率e。解：设椭圆的右焦点为F2，由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a， ∵PF1⊥x轴，∴ |PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2，即（|PF2|+|PF1|）(|PF2|-|PF1|)=4c2， ∴ |PF1|=。 ∵PO//AB，∴ ΔPF1O∽ΔBOA， ∴ = c=ba=c， ∴ e==。又解，∵PF1⊥x轴，∴ 设P(-c, y)。由第二定义：=e|PF1|=e(x0+)=(-c+)=，由上解中ΔPF1O∽ΔBOA，得到b=ce=。例4.已知F1,F2为椭圆+=1的焦点，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=，求ΔF1PF2的面积。分析：要求三角形的面积，可以直接利用三角形的面积公式，注意到椭圆中一些量之间的关系，我们选用面积公式S=absinC。解法一：SΔ=|PF1|·|PF2|·sin |PF1|+|PF2|=2a=20, 4*36=4c2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos，即（|PF1|+|PF2|）2-3|PF1||PF2|=4*36, |PF1|·|PF2|= ∴ SΔ=**=。解法二：SΔ=|F1F2|·|yP|=*12*yP=6|yP|，由第二定义：=e|PF1|=a+exP=10+xP，由第一定义：|PF2|=2a-|PF1|=10-xP, 4c2=|F1F2|2=(10+xP)2+(10-xP)2-2(10+xP)(10-xP)cos, 144=100+=, =64(1-)=64*, SΔ=6|yP|=6*=。注意：两个定义联合运用解决问题。从三角形面积公式均可得到结果。初学时最好两种办法都试试。例5.椭圆+=1 的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，求：|PF1|,|PF2|。分析：先要根据题意画出图形，然后根据已知量，将关于|PF1|,|PF2|的表达式写出来，再求解。解：如图，∵O为F1F2中点，PF1中点在y轴上，∴PF2//y轴，∴PF2⊥x轴，由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a=4, |PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2, (|PF1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=4*9=36，。例6.椭圆：+=1内一点A(2,2),F1,F2为焦点，P为椭圆上一点，求|PA|+|PF1|的最值。解：|PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|=10+|PA|-|PF2|≤|AF2|+10=2+10, |PA|+|PF1|=|PA|+10-|PF2|=10-(|PF2|-|PA|)≥10-|AF2|=10-2。注意：利用几何图形的性质：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。例7.已知：P为双曲线-=1(a>0, b>0)上一点，F1,F2为焦点，A1,A2为其顶点。求证：以PF1为直径的圆与以A1,A2为直径的圆相切。证明：不妨设P在双曲线的右支上，设PF1中点为O', A1A2中点为O, |OO'|=|PF2|，圆O半径为|A1A2|，圆O'半径为|PF1| 由双曲线定义：|PF1|-|PF2|=|A1A2| |PF1|-|A1A2|=|PF2|=|OO'| ∴ 两个圆相内切。注意：可以自己证出P在左支时，两圆相外切。例8.已知：过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于P,Q两点。求证：以线段PQ为直径的圆与准线相切。证明：由定义知，如图：|PP'|=|PF|, |QQ'|=|QF| |PQ|=|PP'|+|QQ'|,|PQ|=(|PP'|+|QQ'|)，故圆心到准线的距离等于圆的半径，即圆和准线相切。