巧借辅助线解决梯形问题

[构造辅助圆，交点立显现]在解一些几何问题时，常会遇到一些用常规方法很难解决的问题。这时，如果构造适当的图形来给以辅助，往往能促使问题转化，使问题中原来隐晦不清的关系和性质在新构造的环境中清晰地...+阅读

梯形没有平行四边形、矩形等特殊四边形那么多性质，所以有关梯形的证明、计算题，常有一定的难度，如果能巧借辅助线，则能有效地化难为易。

一、移腰

1、移动一腰

例1 梯形两底长分别为14cm和24cm，下底与腰的夹角分别是60和30，求较短腰长。

解析：如图1，在梯形ABCD中，AD BC，AD=14cm，BC=24cm，B=60，C=30。过点A作AE DC交BC于E，得到平行四边形AECD和△ABE，故AE=DC(相当于将腰DC移到AE的位置)，AD=EC(相当于将上底AD移到下底上，BE为两底之差)，C=AEB=30(相当于将C移到AEB的位置)。

图1

这样，梯形的两腰，两底之差，下底与腰的两个夹角都集中于Rt△ABE中，于是得到较短腰。

2、移动两腰

例2 如图2，梯形ABCD中，AD BC，E、F分别是AD、BC的中点，且EFBC。

求证：B=C。

图2

分析：过点E作EM AB，EN DC，分别交BC于点M、N。梯形两腰、下底与腰的两个夹角集中于△EMN中，由E、F分别是AD、BC的中点容易得到，又由EFBC，得EM=EN，故EMN=ENM，所以B=C。

二、移对角线

例3 如图3，已知梯形ABCD中，AD BC，AB=DC，对角线AC、BD互相垂直，梯形的两底之和为8。求梯形的高与面积。

图3

解析：过点D作DE AC交BC的延长线于点E，过点D作DMBC于点M，这样得到平行四边形ACED，所以AC=DE(相当于将对角线AC移到DE的位置)，AD=CE(相当于将上底、下底移到一起，BE为两底之和)。由ACBD，得BDDE。

这样将两对角线，两底和，两对角线夹角集中于△BDE中。容易得到DM为等腰直角△BDE的BE边上的高，所以，即梯形的高为4，故。

三、移底

例4 如图4，梯形ABCD中，AB CD，E为腰AD的中点，且AB+CD=BC。

求证：BDCE。

图4

分析：延长CE交BA的延长线于点F，因为点E为AD的中点，可得△DCE≌△AFE，故CE=FE，CD=AF，由AB+CD=BC，得BC=BF，故BECE。

例5 如图5，在梯形ABCD中，AB CD，且ABCD，E、F分别是AC和BD的中点。

求证：。

图5

分析：连接DE并延长交AB于点G，易得△AGE≌△CDE，故DC=GA，DE=EG，从而得。

四、作高

例6 如图6，在梯形ABCD中，AB CD，两条对角线AC=20cm，BD=15cm，梯形高为12cm，求梯形ABCD的面积。

图6

解析：此题有两种解法。

法一：如图6，分别过点C、D作CEAB于点E，DFAB于点F，得矩形DCEF，在Rt△ACE中，AC=20cm，CE=12cm，可得AE=16cm。同理BF=9cm，显然BF+AE=AB+CD=25(cm)，可求梯形面积为。法二：如图7，过点D作DE CA交BA的延长线于点E，过点D作DFBA于点F，在Rt△DEF中，DE=AC=20cm，DF=12cm，由勾股定理可得EF=16cm。同理，FB=9cm，所以AB+CD=AB+AE=EF+FB=25(cm)，进而求得梯形面积为。

图7

小结：通过添加辅助线，将梯形问题转化为特殊平行四边形和特殊三角形问题，从而解决问题。添加辅助线的规律可归纳为以下几点：

1、当两腰(或对角线)具备特殊关系时，移腰(或对角线)，构造等腰三角形或直角三角形。

2、当涉及面积时，作高，构造直角三角形。

3、当涉及腰(或对角线)的中点时，可添加辅助线构造全等三角形。

4、当涉及两底的和或差时，可灵活利用上述3点，将两底移到同一直线上。

巧借辅助线解决梯形问题