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底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面三角形的中心的三棱锥

根据定义来就行了！

1,4，可以证明，三个侧棱相等.且顶点在底面的射影是底面三角形的中心（由于是正三角形，四心合一）.

2:

底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥

这个可以举出一个反例来：

正三角形ABC为底，经过A点作一直线垂直于ABC，取直线上一点P.连接PB,PC.

PB=PC

三角形PBC为等腰三角形.

可是显然三棱锥不是正三棱锥.

3.问题也可以举出反例：

三棱锥P-ABC，面PBC与底面ABC成的双面角是钝角，这时，P点在面ABC的射影，落在三角形ABC形外，另外，过P点作AB,AC的高，会在他们延长线上。

但是这时满足侧面的高都相等的条件！

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