牛顿莱布尼兹公式

[牛顿的童年故事]是指牛顿自制小风车磨面的故事吗？ 1643年，牛顿出生在英国一个小农场主家庭。小时候的牛顿学业平常，与众不同的是他爱冷静思考，还有极强的动手能力，课余时间喜欢制作各种各样的工...+阅读

证明：让函数Φ（x）获得增量Δx，则对应的函数增量

ΔΦ=Φ（x+Δx）-Φ（x）=x+Δx（上限）∫a（下限）f(t)dt-x（上限）∫a（下限）f(t)dt

显然，x+Δx（上限）∫a（下限）f(t)dt-x（上限）∫a（下限）f(t)dt=x+Δx（上限）∫x（下限）f(t)dt

而ΔΦ=x+Δx（上限）∫x（下限）f(t)dt=f（ξ）·Δx（ξ在x与x+Δx之间，可由定积分中的中值定理推得，

也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。）

当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x,f（ξ）趋向于f(x)，故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)

可见这也是导数的定义，所以最后得出Φ'（x）=f(x)。

2、b（上限）∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a),F(x)是f(x)的原函数。

证明：我们已证得Φ'（x）=f(x)，故Φ（x）+C=F(x)

但Φ（a）=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F(a)=C

于是有Φ（x）+F(a)=F(x)，当x=b时，Φ（b）=F(b)-F(a),

而Φ（b）=b（上限）∫a（下限）f(t)dt，所以b（上限）∫a（下限）f(t)dt=F(b)-F(a)

把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。

高阶导数莱布尼兹公式

(uv)^(n)=∑（n,k=0） C(k,n) * u^(n-k) * v^(k)

注：

C(k,n)=n!/(k!(n-k)!)

^代表后面括号及其中内容为上标，xx阶导数

大学是怎样推导牛顿莱布尼兹公式的

牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面就是该公式的证明全过程：我们知道，对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为： b（上限）∫a（下限）f(x)dx 现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数： Φ（x）= x（上限）∫a（下限）f(x)dx 但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了： Φ（x）= x（上限）∫a（下限）f(t)dt 接下来我们就来研究这个函数Φ（x）的性质：

1、定义函数Φ（x）= x（上限）∫a（下限）f(t)dt，则Φ'（x）=f(x)。证明：让函数Φ（x）获得增量Δx，则对应的函数增量 ΔΦ=Φ（x+Δx）-Φ（x）=x+Δx（上限）∫a（下限）f(t)dt-x（上限）∫a（下限）f(t)dt 显然，x+Δx（上限）∫a（下限）f(t)dt-x（上限）∫a（下限）f(t)dt=x+Δx（上限）∫x（下限）f(t)dt 而ΔΦ=x+Δx（上限）∫x（下限）f(t)dt=f（ξ）•Δx（ξ在x与x+Δx之间，可由定积分中的中值定理推得，也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。）当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x,f（ξ）趋向于f(x)，故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x) 可见这也是导数的定义，所以最后得出Φ'（x）=f(x)。

2、b（上限）∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a),F(x)是f(x)的原函数。证明：我们已证得Φ'（x）=f(x)，故Φ（x）+C=F(x) 但Φ（a）=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F(a)=C 于是有Φ（x）+F(a)=F(x)，当x=b时，Φ（b）=F(b)-F(a)，而Φ（b）=b（上限）∫a（下限）f(t)dt，所以b（上限）∫a（下限）f(t)dt=F(b)-F(a) 把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。...

请推导一下微积分基本公式牛顿莱布尼茨公式详细点拜托各位

1、定义函数Φ（x）= x（上限）∫a（下限）f(t)dt，则Φ'（x）=f(x)。证明：让函数Φ（x）获得增量Δx，则对应的函数增量 ΔΦ=Φ（x+Δx）-Φ（x）=x+Δx（上限）∫a（下限）f(t)dt-x（上限）∫a（下限）f(t)dt 显然，x+Δx（上限）∫a（下限）f(t)dt-x（上限）∫a（下限）f(t)dt=x+Δx（上限）∫x（下限）f(t)dt 而ΔΦ=x+Δx（上限）∫x（下限）f(t)dt=f（ξ）Δx（ξ在x与x+Δx之间，可由定积分中的中值定理推得，也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。

）当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x,f（ξ）趋向于f(x)，故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x) 可见这也是导数的定义，所以最后得出Φ'（x）=f(x)。

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