函数方程思想分类讨论思想转化和化归思想递进思想换元法

[思想讨论治理措施]思想讨论治理措施范文一、指导思想和基本原则要坚持以邓小平理论和"三个代表"重要思想为指导，开展先进性教育活动。认真贯彻党的大和届三中、四中全会精神，树立和落实科学发...+阅读

函数方程思想分类讨论思想转化和化归思想递进思想换元法

数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；

一、函数与方程函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y=f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)-y=0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。

二、等价转化等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。

三、分类讨论在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了...

关于方程思想

方程思想在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想.1. 要具有正确列出方程的能力有些数学问题需要利用方程解决，而正确列出方程是关键，因此要善于根据已知条件，寻找等量关系列方程.2. 要具备用方程思想解题的意识.有些几何问题表面上看起来与代数问题无关，但是要利用代数方法——列方程来解决，因此要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识，还有一些综合问题，需要通过构造方程来解决.在平时的学习，应该不断积累用方程思想解题的方法.3. 要掌握运用方程思想解决问题的要点.除了几何的计算问题要使用方程或方程思想以外，经常需要用到方程思想的还有一元二次方程根的判别式，根与系数关系，方程，函数，不等式的关系等内容，在解决与这些内容有关的问题时要注意方程思想的应用.【例题分析】例1：一商店以每3盘16元钱的价格购进一批录音带，又从另外一处以每4盘21元钱价格购进比前一批数量加倍的录音带，如果以每3盘k元的价格全部出售可得到所投资的20%的收益，求k的值.分析：可以设商店第一次购进x盘录音带，则第二次购进2x盘录音带.根据题意，列出方程：答：k的值是19.小结：上述例题是应用问题，正确列出方程是解题的关键，在学习过程中要不断培养这方面的能力.其中所设的x是辅助元，它在解题过程中是参加变化的量，可以消去，也叫做参变量，并不是最终所求的未知量.从本题可以看出，设辅助元x以后可以方便我们解题.例2：以AB为直径的圆交BC于D，交AC于F,DE切半圆于D，交AC于E，若AB:BC=5:6，且AF=7，求CE的长.解：连结AD,FD.是直径例3：已知方程两根为a,b，方程两根为c,d，求的值.解：由根系关系得：例4：已知方程有两个根的积等于2，解这个方程.分析：若直接求解此方程较困难，可以利用待定系数法，由根与系数的关系可知，两根之积为2的一元二次方程，如果二次项的系数是1，那么常数项是2.解：设小结：本例是一个解方程的问题，但是在求解过程中仍然体现了方程思想，利用根系关系构造方程，利用待定系数法构造方程组，都是方程思想的应用.【易错题分析】例1. 已知关于x的方程有两个正整数根，求整数m.分析：本题关于x的方程有两个正整数根，所以这个方程是一元二次方程，，如果用根系关系来解，即，，.列出关于m的不等式，再由正整数根的条件求出m的值，方法比较繁.一般来说，解字母系数的一元二次方程，都可以分解因式，这样解法比较简便.解：将方程分解因式：检验：当m=1时，方程为当m=2时，方程为点证：本题有的同学解法比较繁，而且容易错，用分解因式的方法较好.另外求出以后，变形为以后，便于讨论m的值.最后，求出m的值以后要注意检验是否符合题意，以免多解或丢解，还可以检验，等.例2. 若关于x的方程，有两个不同的正整数根，求正整数k的值.分析：本题用因式分解的方法较好，但求出k以后，要注意检验，因为题目要求有两个不同的正整数根，所以.解：关于x的方程有两个不同的正整数根，将方程的左边分解因式：点评：本题容易错在k=3没有舍.所以一定要注意检验.例3. 已知抛物线在x轴上方，关于x的方程两个不等实数根是，当m是整数时，求的值.分析：本题是二次函数和方程的综合题，要用限定m的范围，由已知m是整数确定m的值.然后用根系关系求出的值.解：在x轴上方但方程有两个不等实根是一元二次方程点评：本题容易错的地方是求出以后，没有舍去m=-3，所以一定要检验一元二次方程的二次项系数，使其不为零.以上三个例题，组成一个题组，小结为一元二次方程要注意验二次项系数，验，并且还要检验是否符合题意，这样才能避免出错.一. 选择题：1. 已知，其内切圆半径为，则三角形三边的长是（）A. 8,7,13 B. 8,5,12 C. 6,7,14 D. 8,7,142. 已知等腰三角形的一腰与底边的长分别为方程的两根，若这样的三角形只有一个时，a的取值范围是（）A. a

整体思想方程思想及例题含答案

整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。整体思想，方程思想及例题含答案例题：一个四位数，其首位上的数字为1，若把首位移作末位，则新的四位数是原数的4被还多1971，试求原数的四位数。解答：（设百位数字为X，十位数字为Y，个位为P） 4*(1000+100x+10y+p)+1971=1000x+100y+10p+1解得100x+10y+p=597从而推得X=5,Y=9,P=7所以原数为1597 方程的思想，是对于一个问题用方程解决的应用，也是对方程概念本质的认识，是分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转换、解决问题。要善用方程和方程组观点来观察处理问题。

方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。例如证明柯西不等式的时候，就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。方程与函数关系密切，方程问题也可以转换为函数问题来求解，反之亦然。函数与不等式也能相互转化。例题：A,B两地相距60千米，甲，乙两人分别从A,B两地骑车出发，相向而行，甲比乙迟出发20分钟，每小时比乙多行3千米，在甲出发1小时40分钟后两人相遇，问甲，乙两人每小时各行多少千米？解答：设甲的速度为x千米/小时，则乙的速度为（x-3）千米/小时，甲走了1小时40分钟，即5/3小时，而乙比甲早出发20分钟，所以乙走了2小时，所以： 5x/3+2*(x-3)=60 x=18 x-3=15 所以甲的速度为18千米/小时，乙的速度为15千米/小时