额，同学和我一样啊！！你是？？ （商品的市场占有率问题） 有两家公司 R 和 S 经营同类的产品， 它们相互竞争. 每年 R 公司保有 1/4 的顾客，而 3/4 转移向 S 公司；每年 S 公司保有 2/3 的顾 客，而 1/3 转移向 R 公司.当产品开始制造时 R 公司占有 3/5 的市场分额，而 S 公司占有 2/5 的市场分额.问两年后，两家公司所占的市场分额变化怎样， 五年以后会怎样？ 十年以后如何？ 是否有一组初始市场分额分配数据使以后每 年的市场分配成为稳定不变？ 问题分析与数学模型 根据两家公司每年顾客转移的数据资料，可得以下转移矩阵：

1 4 A= 3 4 1 3 2 3

根据产品制作之初，市场的初始分配数据可得如下向量：

3 5 X0 = 2 5

所以 n 年后，市场分配为：

1 4 X n = AX n 1 = L = A n X 0 = 3 4 1 3 2 3

n

3 5 2 5

设有数据 a 和 b 为 R 公司和 S 公司的初始市场份额，则 a + b = 1 .为了使以后每年的市 场分配不变，根据顾客数量转移的规律，有：

1 4 3 4 1 3 a a = 2 b b 3

即

3 4 3 4 1 3 a =0 1 b 3

该方程若有解，则应该在非零解的集合中选取正数解作为市场稳定的初始份额. 程序和计算结果 为了得到两年，五年，十年后市场的分配情况.

在 MATLAB 窗口中输入 >>

A=[1/4 1/3;3/4 2/3] %输入转移矩阵

A >>x0=[3/5;2/5] %输入初始向量，即初始市场份额

>>x2=A^2*x0 %计算两年后的市场份额

>>x5=A^5*x0 %计算五年后的市场份额

>>x10=A^10*x0 %计算十年后的市场份额

x2 = 0.3097 0.6903 x5 = 0.3077 0.6923

x10 = 0.3077 0.6923 由此可得下表 6.3表 6.3市场份额的转移率： 两年后 五年后 十年后

R 公司的市场份额 31% 31% 31%

S 公司的市场份额 69% 69% 69%

为了求 a 和 b 作为 R 公司和 S 公司稳定的初始市场份额，需要求解齐次方程组.

在 MATLAB 窗口中输入：

>>format rat %定义输出格式为小整数比的近似值

>>rref(A-eye(2)） %对矩阵 A I 2*2 进行初等变换，所得矩阵为矩阵 % A I 2*2 的最简行阶梯矩阵 ans = 1 0 -4/9 0

4 a b =0. 9 4 ≈ 31% 13 9 b= ≈ 69% 13 a=

由此得简化后的方程为

结合约束条件 a + b = 1 ，可得

这是使市场稳定的两家公司的初始份额，也正好与表中的数据吻合. 问题的解答和进一步思考 在 R 公司和 S 公司的市场初始份额分别为 60%和 40%的情况下，根据计算结果， 两年后情况变化较大：R 公司大约占 31%,S 公司大约占 69%.而五年以后与两年以 后比较变化不大：R 公司大约占 30.8%,S 公司大约占 69%.十年后的的情况与五年 后的情况比较大约不变.市场已趋于稳定.