有关循环矩阵性质及应用的探讨

[构建循环经济发展的税收对策支持体系研究]内容摘要:发展循环经济是我国经济可持续发展的必然路径选择。构建与发展循环经济离不开政府的积极财税政策支持。在对税收政策推动循环经济发展的理论分析基础上，提出了构建...+阅读

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【摘要】本文研究了矩阵中一类重要的矩阵-循环矩阵，介绍了循环矩阵的性质，讨论了循环矩阵求逆的方法，并且针对循环矩阵的对角化以及循环矩阵的应用等问题作了进一步探讨。

【关键词】循环矩阵; 逆矩阵; 对角化

1.引言

循环矩阵的概念是于1885年首先提出来的, 自提出以来, 直到1950-1955年, Good等人才开始分别对循环矩阵的逆, 行列式及其特征值进行了相应地研究[1].自1950年以来, 循环矩阵被数学界高度重视, 发展迅速, 许多数学工作者对它进行了大量研究, 得出很多成果. 目前有关循环矩阵的问题依然是大家热于探讨的课题.

近年来, 循环矩阵类已不断指引着应用数学和矩阵理论领域中的一个非常积极的和重要的研究方向. 循环矩阵之所以会吸引数学学者和工作者如此大的兴趣和孜孜不倦的追求, 是因为它是一类特殊结构, 具有良好性质的矩阵, 而且也是非常重要的矩阵，同时它也是应用非常广泛的一类矩阵, 比如在编码理论、理论物理、分子的轨道理论、数理统计与概率、图像数学处理、固态物理、计算结构等很多的方面应用都比较广泛. 同时循环矩阵的逆和特征值问题, 在物理方面的力学振动系统设计, 分子结构理论, 线性多变量控制理论及数值分析等领域中也频繁闪现. 对循环矩阵的研究是矩阵理论的重要组成部分, 且日益成为应用数学领域中一个非常活跃和重要的研究方向.

在实际生活中许多的数学模型是有关循环矩阵的, 但目前循环矩阵的理论还不是很完善, 所以数学工作者对循环矩阵的研究仍在不停的继续. 其中循环矩阵的逆矩阵求法是多国数学工作者研究的一个热点.在对文献进行深入讨论和研究的基础上，本文详细地综合了以往对循环矩阵的相关研究及结论, 重新证明了以往的部分结论, 继续研究了循环矩阵的各种性质，并且对循环矩阵的逆矩阵和对角化问题也进行了研究探讨，最后给出了循环矩阵的相关应用。

2 循环矩阵的定义

定义2.1 形如

的矩阵称为循环矩阵.

若为实数域上的个数，称矩阵为实数域上的阶循环矩阵，简记为 ;

若为复数域上的个数，称矩阵为复数域上的阶循环矩阵，简记为 .

定义2.2 形如

的矩阵称为基本循环矩阵.

显然 ( 阶单位矩阵)都是循环矩阵。由文献[4]可知任意的阶循环矩阵都可以用线性表出，即

从上可知如果令 , 则 .称为阶循环矩阵的生成多项式.

3 循环矩阵的性质

性质3.1 设都是数域上阶循环矩阵, 数 , 那么 , 也都是阶循环矩阵.

性质3.2 两个循环矩阵的乘积仍为循环矩阵，且 .

性质3.3 任一循环矩阵在复数域上都与一个对角矩阵相似.

性质3.4 可逆的循环矩阵的逆矩阵仍是循环矩阵.

证明由矩阵可逆的定义，我们只要找到可逆的循环矩阵

其中( 为待定系数)使得 , 其中为可逆的循环矩阵.

设

则有

由于 , 则有下列方程组成立

(3.4)

其中为未知数.它的系数矩阵为 ( 表示的转置矩阵). 由于可逆, 其中 , 所以方程组中有且仅有唯一的解 , 即唯一存在, 从而这样的就是的逆矩阵, 且也是循环矩阵.

性质3.5 可逆的循环矩阵的伴随矩阵 .

证明因为是阶可逆的 , 所以 , 因此由性质3.4知,

是 . 由此

所以是循环矩阵.

4.循环矩阵的逆矩阵

定理4.1 循环矩阵可逆的充要条件是的生成多项式

无单位根.

证明构造取

其中

, .

即为所有次单位根. 由于两两不同, 所以由范德蒙行列式的性质知矩阵是可逆的, 从而

其中

因此只要 .则 , 即矩阵可逆. 即循环矩阵可逆的充要条件是方程

无单位根.

定理4.2 设维向量 ,如果方程的解为，那么

例1 求矩阵的逆矩阵.

解因为

的解为

从而

定理4.3 ，其中为阶矩阵，则

(1) 和 .

(2)如果和可逆且的逆为

，

那么

. (4.3)

根据定理4.3的(2)，求阶的逆可以进行分块矩阵计算，分块的根据是以

阶顺序主子式为一块，共分成四块，这样就可以将阶的逆转化成一个阶的逆，从而给问题的解决带来很大的简便.

例2 求的逆矩阵.

解根据定理(4.3)的结论(2)，将矩阵分块为

其中， , , 可逆，

那么

= ，

从而

于是

5.循环矩阵的对角化

阶矩阵关于多项式函数生成的矩阵为，的特征根与的特征根有下面的结论：

结论5.1设是一个次多项式函数，若是矩阵的特征根，则是矩阵的特征根.

结论5.2设是一个次多项式函数，若矩阵相似于矩阵，则矩阵相似于矩阵 .

考察阶循环矩阵，的特征多项式为：

如果阶记为，不难求得与特征值相应的特征向量，记：

，

则

得

可以验证

将这个两两正交的向量单位化，可得标准正交基

令矩阵

则

于是有下面的结论：

结论5.3 任意在复数域，即

在一类，如果对角化的矩阵为：

由结论5.3，只要令即可得个关于的线性方程组.又由于矩阵及特征根由阶矩阵确定，且 .所以，多项式函数中的系数是唯一的 .于是，循环矩阵是唯一的.因此，可得出在一类可对角化的相似矩阵中，一定有且仅有一个循环矩阵.否则，就不对角化.

下面给出一个四阶循环矩阵的实例：

例3 求四阶的特征根，并对角化.

解令得

，

由于

，

所以，的特征根分别为：

其中，

，

可以验证

6.循环矩阵的应用

定理6.1 阶矩阵可以对角化的充要条件是相似于一个阶循环矩阵.

证明一方面，若阶矩阵与循环矩阵相似，由于可以对角化，所以也可以相似对角化.

反过来，若阶矩阵可以对角化，总存在阶循环矩阵与之相似.

事实上，设，若能得到的生成多项式则就被唯一确定了.结合定理4.1的证明过程，令

即

其中， .

这个非齐次线性方程组的系数行列式是范德蒙行列式，从而不等于0，于是该方程组有唯一解，则被唯一确定.

此时

即

, 从而 ,

所以存在循环矩阵与矩阵相似.

7.结束语

本论文更加系统的描述了循环矩阵的性质及其应用。从循环矩阵的定义出发, 把文献中分散碎化的内容加以总结整理，更加系统全面的总结了循环矩阵的性质，对循环矩阵的部分性质进行了重新的证明, 然后介绍了循环矩阵的逆矩阵的求法和对角化问题。最后给出了一种矩阵对角化方面的应用，它提供了一种矩阵可对角化的条件，利用循环矩阵判断矩阵是否可以对角化。

循环矩阵在物理、数学、计算机等学科有着广泛的应用，本论文为循环矩阵的深入研究提供了比较系统全面的基础。

8.致谢

经过一个多月的时间，在姜东华老师的严格要求下终于完成了论文。在写论文的过程中得到了姜东华老师的精心指导，在此要向老师表示深深的感谢和崇高的敬意，谢谢老师总是在百忙之中抽出时间来为我解答过程中的疑问。此外还要谢谢我的室友和同学在我写论文过程中的帮助和支持。

由于自己知识所限，不免会有不足之处，请老师指正，帮助我更加进步。最后谨向所以帮助和支持过我的领导、老师、同学及亲友们表示最诚挚的谢意。

参考文献：

[1] Philip Dis. Circulant Matrices[M], Wiley, New York, 1979, 12-25.

[2] 程云鹏.矩阵论[M].西安：西北工业大学出版社，2005.412-415.

[3] 潘劲松.循环矩阵的推广应用研究[J].廊坊师范学院学报：自然科学版, 2013，2：11-16.

[4] 吴世玕.循环矩阵的若干性质及应用[J].南方冶金学院学报，2002，1：66-68.

[5] 邓义华.循环矩阵的逆问题[J].衡阳师范学院学报,2005,3: 31-33.

[6] 关于循环矩阵的几个性质的推广--赵立宽，岳晓鹏，杜学知.关于循环矩阵的几个性质的推广[J].曲阜师范大学学报，2006，4：52-56.

[7] 张爱萍.循环矩阵的性质及其对角化[J].广西师院学报:自然科学版,2000,4：10-13.