复变函数论的教学方法

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复变函数论的教学方法【1】

摘要：针对高等院校复变函数论的教学现状，结合自身的教学体会，提出了引入、对比、反例、总结式的教学方法。

关键词：复变函数论;引入式教学;对比式教学;反例式教学;总结式教学

复变函数论是高等院校数学专业的一门重要基础课程。

作为数学分析的后续课程，该课程的教学对数学专业学生的培养起着重要作用，它在数学其他分支、力学、工程学等领域中有着广泛的应用。

本文根据笔者自身关于复变函数论课程的教学实践和体会，对引入、对比、反例、总结几种教学方法略作刍议。

一、采用引入式教学方法

古语说温故而知新，在教授新的理论时，要以已知理论为基础。

复变函数是数学分析中实变函数论在复数域内的推广，其主要研究复数域上的解析函数。

在课堂讲授中，应该以实变函数的理论为源头，引入复变函数的相关理论。

例如，基于复数z=x+iy与复平面上的点(x，y)的一一对应关系，复变函数w=f(z)(其中w=u+iv)的定义可以由两个二元实变函数引入，即f(z)=u(x，y)+iv(x，y)。

具体到一些简单函数，比如讲授复变函数中正弦函数sinz的定义时，如何来确定此时的u(x，y)和v(x，y)的形式。

应该首先考虑数学分析中正弦函数sinx的一系列性质(比如：周期性、奇偶性、连续性、可微性等)。

在符合：①sinx是sinz限制在x轴上的表示，②sinz尽量满足sinx具有的性质，这两个条件的前提之下，确定u(x，y)=excosy和v(x，y)=exsiny，即sinz=ex(cosy+isiny)。

该结构是sinx在复平面内的最有效的推广。

二、结合对比式教学方法

三、嵌入反例式教学方法

四、注重总结式教学方法

复变函数论课程中概念、方法和定理众多，这给教学带来一定的难度。

因此在教学过程中，引导学生对复变函数的相关内容进行归纳总结是非常有必要的。

比如，在讲授完复变函数积分理论以后，可以将求复积分的方法总结为如下几种。

另外，要注意到方法1～3一般用于求解积分曲线是非闭的积分;方法4～6适用于求解积分曲线是简单闭曲线的积分。

照上述的总结，可以快速、准确地求解各类复积分。

具体的例子在相关文献中已有讨论。

总之，在复变函数论的课堂教学中，应充分利用引入、对比、反例、总结式的教学方法，积极调动学生学习的积极性和主动性，不断完善教学计划和内容，这样才能提高复变函数论课程的教学质量。

参考文献：

[1]西安交通大学数学教研室.复变函数[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2]钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]刘显全.复变函数教学法探讨[J].大学数学，2012，(28).

[4]王艳琴.计算复积分的几种方法[J].湖南工业职业技术学院学报，2001，(11).

复变函数论教学的几点探讨【2】

【摘要】本文结合近几年来复变函数论课程中的教学实践，针对教师只重视讲授教学内容而忽视培养学生各方面能力的现象，就更新教学思想、转变教学观念、改革教学方法等方面进行了深入的探讨。

【关键词】教学改革教学方法数学思想

作为本科数学专业的重要基础课之一，复变函数论在整个课程体系中起着承上启下的重要作用。

该课程以数学分析为基础，重点讨论了解析函数的积分理论。

通过这门课的学习，学生能够对泛函分析等课程的学习打下良好的基础。

针对教师只重视讲授教学内容而忽视培养学生各方面能力的现象，笔者提出以下几点建议。

一注重培养学生发现问题和解决问题的能力

在重要定理的证明过程中突出探索问题和研究问题的思路，特别强调证明过程中蕴含的数学思想。

引导学生提出问题并解决问题，提高学生对定理内容的理解。

例如：在Cauchy积分定理的证明过程中，为什么有些地方用到了函数的解析性，而有的地方仅仅用到了函数的连续性?怎样用严格的数学语言描述折线逼近曲线的过程?在此过程中，让学生深刻体会由特殊到一般、折线逼近曲线等朴素的数学思想，提高学生的逻辑思维能力。

另外，定理的证明过程再现了数学大师们思考问题的方式，学生可通过学习定理窥视到他们是如何探索真理的，从而激发学习的积极性。

尽量避免老师在黑板上推导、学生做笔记的现象发生，让学生在提出问题、思考问题、解决问题的过程中感受定理的证明思路。

二在比较过程中学习新知识

复变函数课程中的内容有很多都和数学分析中的教学内容相似。

教师可以在教学过程中引导学生多做比较，得出两门课程相关知识的区别和联系。

如引导学生思考复变函数的导数与一元函数、二元函数的导数有什么联系?实数项级数的敛散性判别法是否适用于复数项级数?对于复函数项级数中的幂级数，它的性质、收敛半径求法是否和实函数项级数中的幂函数保持一致?非零的解析函数的零点孤立性定理是否对可导的实函数成立?在用留数定理计算特殊的实积分时，回顾数学分析课程中的方法，比较两种办法的优缺点，让学生切身感受到留数定理的威力。

在教学活动中注重学生的主体意识，寻找类似于上面提到的切入点，通过指出本课程与数学分析课程的区别和联系，使学生懂得该课程的重要性，同时激发学生的学习积极性。

总之，让学生在比较的过程中既可以温习旧知识，又可以学到新知识。

虽然复变函数是数学分析的后续课程，但复变函数不仅仅是数学分析的延拓，它还有许多和数学分析不同的概念与方法。

如多值函数、Laurent级数与孤立奇点、留数理论与共形映射等。

在复变函数中学习的知识和数学分析中学习的知识侧重点也不一样，如微分与导数，数学分析主要讲微分的概念、意义和计算，而在复变函数中只是简单介绍了微分与导数的概念、性质及计算，重点研究的是解析函数。

复变函数概念多，性质定理也很多，在教学过程中，既要抓好基础，又要突出重点，更要通过总结、复习等教学环节，顺着知识的逻辑结构，理清知识脉络，这样才能让学生系统地掌握复变函数的理论和方法。

三注重培养学生的构造能力

构造映射或函数是数学当中较难的问题，所以提高学生这方面的水平是教师需要考虑的一个课题。

复变函数中某些定理的证明和第七章共形映射中涉及这个话题。

通过详细的讲解并结合数形结合的思想，给学生在这方面有一个完整地呈现。

如解析函数唯一性定理的证明过程中需要构造一连串的圆盘。

另外，在共形映射这一章，构造符合条件的共形映射是主要目标。