课题：数学归纳法及其一些非常见类型和归纳途径想写一篇毕业论

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课题：数学归纳法及其一些非常见类型和归纳途径想写一篇毕业论

1.研究的背景、目的及意义主要写三层意思，第一，从给学生开阔视野的角度，在中学数学，数学归纳法主要用于证明题，给学生提供一个新的思路解题；第二，从未来应用的角度，（不太确定文科教材里有没有数学归纳法），对于理科生，将来会涉及到计算机编程，数学归纳法是递归循环的简单形式，有利于学生今后理工科知识的理解和学习第三，从应试角度，数学归纳法是中学数学的必修课，也是考试必考的知识点，也是比较好拿分的知识点 2.主要研究内容和预期目标结合背景目的里的三层意思，主要研究内容围绕学生的认知水平，以及学生举一反三的能力来写：第一，统计数学归纳法在学生中的理解程度，或者说，数学归纳法对大部分学生来说的难易程度，学生在那些方面理解不清楚，这些理解不清楚的情况是属于普遍现象还是个别现象；（比如文科生和理科生理解上有何不同）预期目标：知道数学归纳法难在哪里，容易在哪里，要有统计数据第二，学生对数学归纳法的认识，是否有学生认识到数学归纳法在实际生活中的意义，还是应试的情况居多，一些对数学感兴趣的同学有没有觉得数学归纳法给他们带来的方便第三，学会了数学归纳法的同学是不是能更容易的理解计算机的递归循环算法，例如汉诺塔 3.拟采用方法，步骤结合2中所说，主要通过统计方法，结合对学生的调查差不多就这样吧，我不是学教育的，不知道合不合您的要求另外，团IDC网上有许多产品团购，便宜有口碑

数学归纳法

求证：5个连续自然数的积能被120整除。

1、当n=1时1*2*3*4*5=120，能被120整除，原命题成立

2、假设当n=k时原命题成立，则当n=k+1时（k+1）(k+2)(k+3)(k+4)(k+5) =k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) +5(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) 因为k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)是120的倍数只需证5(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)是120的倍数即欲证（k+1）(k+2)(k+3)(k+4)是24的倍数四个数中两奇两偶，一定有4的倍数，3的倍数，还有另一个偶数，所以一定能被4*2*3=24整除。即当n=k+1时原命题成立所以，综合

1、

2、，原命题对任何自然数成立。

对于数学归纳法的原理以及其深层理解

一般是用第一数学归纳法和第二数学归纳法

（一）第一数学归纳法：

一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n)，有如下步骤：

(1)证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；

(2)假设当n=k(k≥n0,k为自然数)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

综合（1）(2)，对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。

证明：设M是使命题P正确的自然数的集合，于是：

(1)数1属于M，因为对于1，命题P是正确的.

(2)假定数n属于M，这就是说，对于数n命题是正确的.这时，对于n的直接后继数n′，命题P也能够证明是正确的，这就是说，n′也属于M.

因此，集合M具有上面归纳公理的性质（1）和（2），从而集合M应该含有所有的自然数.这就是说，命题P对于任何自然数n都是正确的

（二）第二数学归纳法：

对于某个与自然数有关的命题P(n),

(1)验证n=n0时P(n)成立；

(2)假设n0≤n<=k时P(n)成立，并在此基础上，推出P(k+1)成立。

综合（1）(2)，对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。

要证明它需要最小数定理：自然数的任何非空集合A必有一个最小数

证明：用反证法.如果命题P不是对于所有自然数都成立，那么使命题P不成立的自然数的集合M不是空集.根据预备定理中的最小数原理，M中必有一最小数l，因为l∈M，所以命题P对于l不成立.由于1能使命题成立，所以l≠1，即l>1.但l是集合M的最小数，即命题P对于小于l的所有自然数都成立.因而根据本定理的题设，能证明命题P对于l也成立.这个矛盾说明命题P对于所有自然数都是成立的.

在高等代数课本的第一章一般都有详细证明过程

数学归纳法？

⑴当n=1时，a1=1显然成立 ⑵假设n=k时，所证也成立，即Ak=(3K-1)[2^ (k-2)] 又S(k+1)=4Ak+2 ① =》两式相减可得A(K+1)=S(K+1)-SK=4AK-4A(K S(K)=4A(k-1)+2(K>1,K属于整数)② -1) A(K+1)=4AK-4A(K-1)变型可得A(K+1)-2AK=2[AK-2A(k-1)] 聪明的你可以知道了A(K+1)-2AK=[2^(n-1)](A2-2A1) 由题目可以知道A1=1,A2=S2-A1=6-1=5 推出A(K+1)=2AK+[2^(n-1)](5-2*1) 由AK=(3K-1)[2^(K-2)]可得 A(K+1)=2(3K-1)[2^(K-2)]+[2^(n-1)]*3 =(3K-1)[2^(K-1)]+3[2^(K-1)] =[3(K+1)-1]{2^[(K+1)-2]} 即An=(3n-1)[2^(n-2)]对任何N大于1的整数来说都成立又有当N=1时成立所以当N属于非零自然数时，均满足An=(3n-1)[2^(n-2)]