数学解题方法与数学思想

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数学解题方法与数学思想

中学数学中常见的数学思想有：函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归的思想。这典型的四类数学思想对初中数学问题的解决有着重要的思维指导作用。

1. 函数与方程的思想：函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。而所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。

2. 数形结合的思想：数与形在一定的条件下可以转化。如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题;而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。

3. 分类讨论的思想

分类讨论的思想之所以重要，原因一是因为它的逻辑性较强，原因二是因为它的知识点的涵盖比较广，原因三是因为它可培养学生的分析和解决问题的能力。原因四是实际问题中常常需要分类讨论各种可能性。

解决分类讨论问题的关键是化整为零，在局部讨论降低难度。

常见的类型：

类型1 ：由数学概念引起的的讨论，如实数、有理数、绝对值、点(直线、圆)与圆的位置关系等概念的分类讨论 ;

类型2 ：由数学运算引起的讨论，如不等式两边同乘一个正数还是负数的问题;

类型3 ：由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，如一元二次方程求根公式的应用引起的讨论;

类型4 ：由图形位置的不确定性引起的讨论，如直角、锐角、钝角三角形中的相关问题引起的讨论。

类型5 ：由某些字母系数对方程的影响造成的分类讨论，如二次函数中字母系数对图象的影响，二次项系数对图象开口方向的影响，一次项系数对顶点坐标的影响，常数项对截距的影响等。

如分类讨论的案例：在一张长为 9 厘米，宽为 8 厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为 5 厘米的等腰三角形(要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上)，请计算剪下的等腰三角形的面积?

分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思想方法，其作用在于克服思维的片面性，全面考虑问题。分类的原则：分类不重不漏。

分类的步骤：

①确定讨论的对象及其范围;

②确定分类讨论的分类标准;

③ 按所分类别进行讨论;

④ 归纳小结、综合得出结论。注意动态问题一定要先画动态图。

4 .转化与化归的思想

转化与化归市中学数学最基本的数学思想之一，数形结合的思想体现了数与形的转化;函数与方程的思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化;分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，所以以上三种思想也是转化与化归思想的具体呈现。

但是转化包括等价转化和非等价转化，等价转化要求在转化的过程中前因和后果是充分的也是必要的;不等价转化就只有一种情况，因此结论要注意检验、调整和补充。转化的原则是将不熟悉和难解的问题转为熟知的、易解的和已经解决的问题，将抽象的问题转为具体的和直观的问题;将复杂的转为简单的问题;将一般的转为特殊的问题;将实际的问题转为数学的问题等等使问题易于解决。

常见的转化方法有： ?

( 1 )直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题 .

( 2 )换元法：运用换元把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题 .

?( 3 )数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径 .

?( 4 )等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的 .

?( 5 )特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，使结论适合原问题 .

( 6 )构造法：构造一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题 .

( 7 )坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题也是转化方法的一个重要途径

数学解题方法与数学思想