四边形内角和定理的方法证明

[多边形内角的求解技巧]1、多边形的每个内角与和它相邻的外角互为补角。这个条件在题目中一般不会作为已知条件给出，因此，在解题时应根据需要加以利用。例1 一个正多边形的每个内角都比与它相邻的外...+阅读

在一次《多边形的内角和》的课堂上，有一个教学环节是这样设计的：让学生思考任意一个四边形的内角和是多少?用这种方法能否求五边形、六边形等多边形的内角和?[1]而在课堂上，同学们给出了许多种求四边形内角和的方法，虽然有的方法不太适合推广到五边形、六边形，但其中不乏有课前我没有意料到的方法，当然我也没想到学生们会有如此多的方法。为了不打断学生的想法，给学生一个展示自我的机会，更为了拓展学生的思维，我抓住了这一难得的机会，充分让学生展示他们活跃的思维，而把预先准备的一些内容放到了下一节课。我不知道这样做好不好，但至少有一点，学生们主动地进行了观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，这是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，增强了学生学习数学的兴趣，使不同的人在数学上得到了不同的发展[2]。下面就一一列举学生们的解法，其中解法一～解法五是预先设计的。

解法一：如图1，连接AC，四边形ABCD的内角和等于两个三角形内角和的和，即1802=360。

解法二：如图2，连接AC、BD，四边形ABCD的内角和等于四个三角形内角和的和减去360，即1804-360=360。

解法三：如图3，在四边形ABCD内取一点P，连接PA、PB、PC、PD，四边形ABCD的内角和等于四个三角形内角和的和减去360，即1804-360=360。

解法四：如图4，在BC边上取一点P，连接PA、PD，四边形ABCD的内角和等于三个三角形内角和的和减去180，即1803-180=360。

解法五：如图5，在四边形ABCD外取一点P，连接PA、PB、PC、PD，四边形ABCD的内角和等于三个三角形内角和的和减去180，即1803-180=360。

解法六：如图6，连接BD，延长BA至E，延长BC至F，∵EAD=ABD+BDA，FCD=CBD+BDC，四边形ABCD的内角和等于(EAD+BAD)+(FCD+BCD)=180+180=360。

解法七：如图7，过点A、D分别作BC的平行线AE、DF，则EAB=B，EAD=ADF，CDF=C，四边形ABCD的内角和等于BAD+EAB+(CDF+CDA)=BAD+EAB+ADF =BAD+EAB+EAD =360。

解法八：如图8，过点A、D分别作BC的垂线AE、DF，垂足分别为E、F，过点A作DF的垂线AG，垂足为G，则AEC=DFB=AGF=EAG=90，∵AEC=B+BAE，DFB=C+CDF，AGF=DAG+ADF，四边形ABCD的内角和等于AEC+DFB+AGF+EAG=904=360。

解法九：若AB CD，则B+C=A+D=180，B+C+A+D=360;若AB不平行于CD，如图9，不妨设BA、CD的延长线相交于点E，∵BAD=E+ADE，ADC=E+EAD，B+C+BAD+ADC=(B+C+E)+(ADE +E+EAD) =180+180=360。综上可得，四边形ABCD的内角和等于360

解法十：连接AC，并延长至G，过点C分别作AD、AB的平行线CE、CF，则D=DCE，DAC=ECG，BAC=FCG，B=FCB，四边形ABCD的内角和=B+BAC+CAD+D+BCD =FCB+FCG +ECG +DCE +BCD =360。

以上这些证法中，充分发挥了学生的想象力、综合运用知识的能力，很好地训练了学生的思维，体现了转化这一重要数学思想方法地灵活运用，这一点对学生的发展很重要，而这也是新课程标准所倡导的。这堂课可能是一节不合格的课，但我还是希望我们数学老师能在课堂上不断探索、试验，大胆创新，只要我们本着新课程的理念，本着以学生的发展为本，相信中国数学教育的未来一定会取得辉煌的成绩。

参考文献：

①义务教育课程标准实验教科书数学七年级下册，人民教育出版社，2007年6月第2版.

②教育部制订.全日制义务教育数学课程标准.北京:北京师范大学出版社,2001.

四边形内角和定理的方法证明