[四边形内角和定理的方法证明]在一次《多边形的内角和》的课堂上，有一个教学环节是这样设计的：让学生思考任意一个四边形的内角和是多少?用这种方法能否求五边形、六边形等多边形的内角和?[1]而在课堂上，同...+阅读

1、多边形的每个内角与和它相邻的外角互为补角。这个条件在题目中一般不会作为已知条件给出，因此，在解题时应根据需要加以利用。

例1 一个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20，求此正多边形的边数。

分析：由于这个正多边形的每个外角与和它相邻的内角互为邻补角，根据题意，可先求出外角的大小，再求边数。

解：设每个外角的大小为x，则与它相邻的内角的大小为(3x+20)度。根据题意，得

解得

，即每个外角都等于40。所以

，即这个正多边形的边数为9。

2、利用多边形内角和公式求多边形的边数时，经常设边数为n，然后列出方程或不等式，利用代数方法解决几何问题。

例2 已知一个多边形的每个内角都等于135，求这个多边形的边数。

解法1：设多边形的边数为n，依题意，得

解得n=8，即这个多边形的边数为8。

解法2：依题意知，这个多边形的每个外角是180-135=45。

所以，多边形的边数

，即这个多边形的边数为8。

3、正多边形各内角相等，因此各外角也相等。有时利用这种隐含关系求多边形的边数，比直接利用内角和求边数简捷(如上题解法2)。解题时要注意这种逆向思维的运用。

例3 一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是2570，求这个多边形的边数。

分析：从已知条件可知这是一个与多边形内角和有关的问题。由于除去一个内角后，其余内角之和为2570，故该多边形的内角和比2570大。又由相邻内、外角间的关系可知，内角和比2570+180小。可列出关于边数n的不等式，先确定边数n的范围，再求边数。

解：设这个多边形的边数为n，则内角和为(n-2)180。依题意，得

解这个不等式，得

。

所以n=17，即这个多边形的边数为17。

说明：这类题都隐含着边数为正整数这个条件。

4、把不规则图形转化为规则图形是研究不规则图形的常用方法，其解题关键是构造合适的图形。

例4 如图1，求1+2+3+4+5+6+7的大小。

图1

分析：解题关键是把该图形与凸多边形联系起来，从而利用多边形内角和定理来解决，因此可考虑连接CF。

解：连接CF。

∵COF=DOE

1+2=OCF+OFC

1+2+3+4+5+6+7

=OCF+OFC+3+4+5+6+7

=(5-2)180

=540

多边形内角的求解技巧