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个别式子改清楚了些。
超越数就是实数中不能表为代数方程根的那部分。与之相应，代数数是可以表为代数方程的根的数。
在实数中，代数数是可数的，所以超越数是不可数的。
证明Pi是无理数相对容易得多，以前看过的也忘了。下面是从网上找的一则证明：
这个证明属于Ivan Niven。假设pi=a/b，我们定义（对某个n）:
f(x) = (x^n) * (a-bx)^n / n!
F(x) = f(x) + ... + (-1)^j * f^(2j)(x) + ... + (-1)^n * f^(2n)(x)
这里f^(2j)是f的2j次导数.
于是f和F有如下性质（都很容易验证）：
1)f(x)是一个整系数多项式除以n!。
2)f(x) = f(Pi - x)
3)f在（0,pi）区间上严格递增，并且x趋于0时f(x)趋于0,
x趋于pi时f(x)趋于pi^n * a^n / n!
4）对于0 <= j < n, f的j次导数在0和pi处的值是0。
5）对于j >= n, f的j次导数在0和pi处是整数（由1）可知）。
6)F(0)和F(pi)是整数（由4）,5）可知）。
7)F + F'' = f
8)(F'·sin - F·cos)' = f·sin （由7）可知）。
这样，对f·sin从0到pi进行定积分，就是
(F'(pi)sin(pi)-F(pi)cos(pi)) - (F'(0)sin(0)-F(0)cos(0))
=F(pi)+F(0)
由6）可知这是个整数。
问题在于如果把n取得很大，由3）可知f·sin从0到pi进行定积分必须严格大于0严格小于1。矛盾，证毕。
Lindemann首先给出了Pi是超越数的证明。我没学过代数数论，不会证。要用到The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem。在讲代数数论的书上或许有的；一些讲现代几何学的书在讲化圆为方问题也会有Pi的超越性证明。
——刚才查了一下书，在于秀源的《超越数论基础》中，第四章第2节就证明了e和Pi的超越性。书我可以发你邮件里，发站内信告诉我邮件地址就行了。
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