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条件期望的数学期望

02月16日 编辑 fanwen51.com

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条件分布函数F(y|x)或条件密度函数P(y|x)描写了随机变量 在已知(=y)发生的条件下的统计规律,同样离散型情形一样,还可以求在(=y)发生的条件下的数学期望,也就是条件数学期望,于是有下述定义。

定义5.1如果随机变量 在已知(=y)发生的条件下的条件密度函数为P(y|x),若

则称

E( )= (3.90)

为在( =y)发生的条件下的数学期望,或简称为条件期望。

同离散型情形相同,连续型随机变量的条件期望也具有下述性质:

(1)若a≤ ≤b,则a≤E( )≤b;

(2)若是 、 两个常数,又E( )(i=1,2)存在,则有

E( )=E( )+E( )

进一步还可以把E( )看成是 的函数,当时这个函数取值为E( ),记这个函数为E( ),它是一个随机变量,可以对它求数学期望,仍与离散型相同,有

(3)E(E)=E。

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