什么是数学归纳法 - 范文无忧网

[数学与应用数学是什么]数学与应用数学是一个学科专业，该专业培养掌握数学科学的基本理论与基本方法，具备运用数学知识、使用计算机解决实际问题的能力，受到科学研究的初步训练，能在科技、教育和经济部...+阅读

数学归纳法：数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式；这就是著名的结构归纳法。理论依据：

（1）理论根据是自然数的皮雅诺（peano,1858年-1932年，意大利数学家）公理，其中有一条叫做归纳公理：“如果某一正整数的集合M含有1，而且只要M含有正整数k，就一定含有k后面紧挨着的那个正整数k+1，那么M就是正整数集本身。” 现设P(n)是一个与正整数n有关的命题，用M表示使P(n)成立的正整数的集合。由数学归纳法的第一个步骤，可知命题P

(1)成立，所以M含有1。再由数学归纳法的第二个步骤，可知在假设n=k时命题P(k)成立后，可以推出n=k+1时命题P(k+1)也成立；换句话说，只要M含有正整数k，就一定含有k后面紧挨着的那个正整数k+1。因此，根据归纳公理，M就是正整数集本身，即命题P(n)对于所有正整数都成立。

（2）数学归纳法的两个步骤缺一不可。

（3）根据实际问题确定使命题成立的第一个正整数可能是1。也可能是2,3等（有时还可能取n=0或-1等）。例如教科书第120页上的例3，第一步应取n=2。又如证明凸n边形有条对角线时，第一步应取n=3。要切实理解命题P(n)中的正整数n在各种实际问题中代表什么。

（4）在完成第二个步骤时，要运用命题P(k)成立这一归纳假定，去推导命题P(k+1)也成立。不能离开P(k)成立这一条件，用其他方法导出P(k+1)成立的结果，因为这样就看不出P(k)成立到P(k+1)成立这一递推关系了。