证明不等式的方法总结

[总结的写作方法]（一）总结的种类从性质、时间、形式等角度可划分出不同类型的总结，从内容分主要有综合总结和专题总结两种。综合总结又称全面总结，它是对某一时期各项工作的全面回顾和检查，进而...+阅读

证明不等式的方法总结

不等式证明方法的归纳小结

教学目的：分类地归纳小结不等式的证明方法

教学重点：通过不等式的证明，提高推理证明能力

教学难点：根据不等式的特征恰当地使用不等式的证明方法

教学过程：

（一）不等式的内容

1.不等式的性质；2.不等式的证明；3.不等式的解法

（二）证明不等式是解不等式的理论基础——不等式的性质（基本）

（三）证明不等式常用的基本方法

1.比较法

(1)作差法

a>b a-b>0

理论根据 a=b a-b=0

一般步骤：作差——变形——判断符号

常常用之证明较高的不等式或分式不等式

例：已知：a,b∈R+，且a≠b

求证：a5+b5>a3b2+a2b3

(2)作商法

2.综合法——“由因导果”（实质）

理论根据 a2≥0即a2∈{0}∪R+

此种方法常用到的重要不等式

a2+b2≥2ab (a,b∈R)

(a,b∈R+)

a3+b3+c3≥3abc (a,b,c∈R+)

(a,b,c∈R+)

例如：证明：a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da

要根据不等式的特征，运用重要不等式，注意条件是否具备

3.分析法——“执果索因”（实质）

思想方法解题格式

为了证明……

只需证明……

……

因为……成立

所以……也成立

例如：证明：（a≥3）

分析法在思考上优于综合法易于寻找证明的思路，综合法在证明过程中书写表达条理，故常将两法综合使用，进行记忆较好。

4.反证法

思想方法：为了证明A>B成立，假设AB成立。

5.放缩法

理论根据 a>b且b>c a>c

例：已知a,b,c,d为正数，

求证：1< <2

证明：由a,b,c,d为正数，则有

>=1

∴原不等式成立

练习：证明：（n∈N*且n≥2）

证明：由k∈N*且2≤k≤n，则有

∴

6.数学归纳法

证明一些与自然数有关的不等式。

作业：解答课堂例练习题

望采纳

不等式的证明方法有哪些

1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法（简称为求差法）和商值比较法（简称为求商法）。

（1）差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。

（2）商值比较法的理论依据是：“若a,b∈R+,a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。 2.综合法利用已知事实（已知条件、重要不等式或已证明的不等式）作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1 B2 B3… BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。 3.分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1 B3 … BnA，书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。 4.反证法有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。 5.换元法换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。

（1）三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题，实施的三角代换方法有：①若x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可设x=rcosθ，y=rsinθ（0≤r≤1）；③对于含有的不等式，由于|x|≤1，可设x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可设x=taaA,y=tanB,z=tanC，其中A+B+C=π。

（2）增量换元法：在对称式（任意交换两个字母，代数式不变）和给定字母顺序（如a>b>c等）的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。如a+b=1，可以用a=1-t,b=t或a=1/2+t,b=1/2-t进行换元。 6.放缩法放缩法是要证明不等式A