分式方程的运算技巧

[分式运算的几点技巧]分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧...+阅读

分式方程的运算技巧

分式运算技巧

分式运算，一要准确，二要迅速，其中起着关键作用的就是通分. 但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，对于分式的通分，要讲究技巧.下面说明几种常用的通分技巧.

一、逐步通分法

例1 计算

分析：此题若采用将各项一起通分后相加的方法，计算量很大.注意到前后分母之间存

在着平方差关系，可逐步通分达到目的.

解：原式= =

评注：若一次通分，计算量太大，利用分母间的递进关系，逐步通分，避免了复杂的计算.依次通分构成平方差公式，采用逐步通分，则可使问题简单化。

二、整体通分法

例2 计算

分析题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻到可以做为整体的部分，那么计算起来就可以简便一些.

解：原式=

评注：此题是一个分式与多项式的和，若把整个多项式看作分母为1的分式，再通分相

加，使得问题的解法更简便.

三、分裂整数法

例3. 计算：

分析如果几个分母不同通分时可使用分裂整数法，对分子降次后再通分.

评注：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。

四、裂项相消法

例4 计算

分析我们看到题目中每一个分式的分母是两个因数之积，而分子又是一个定值时，可将每一个分式先拆成两项之差，前后相约后再通分.

解：原式= =

评注：本题若采用通分相加的方法，将使问题变的十分复杂，注意到分母中各因式的关

系，再逆用公式，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。在解某些分式方程中，也可使用拆项法。

五. 见繁化简法

例5. 计算：

分析分式加减时，如果分母不同要先分解因式，再找到公分母，把每个分式的分母都化为公分母的形式

解：原式

评注：若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当方法通分，可使运算简便。

在分式运算中，应根据分式的具体特点，灵活机动，活用方法。方能起到事半功倍的效率。

六、挖掘隐含条件，巧妙值

例6 若，则 =___________。

解：∵ ，∴

但考虑到分式的分母不为0，故x=3

所以，原式

说明：根据题目特点，挖掘题中的隐含条件，整体考虑解决方案是解决本类题目的关键。

七、巧用特值法值

例7 已知，则 =_____________。

解：此题可直接令x=4,y=5,z=6，代入得：

原式

说明：根据题目特点，给相关的字母赋予特定的数值，可简化解过程。

八、巧设参数（辅助未知数）值

例8 已知实数x、y满足x:y=1:2，则 __________。

解：设，则，，故原式

说明：在解答有关含有比例式的题目时，设参数（辅助未知数）解是一种常用的方法。

九、整体代入

例9 若 =5，的值.

分析：将 =5变形，得x-y=-5xy，再将原式变形为，把x-y=-5xy代入，即可出其值.

解：因为 =5，所以x-y=-5xy.

所以原式= = = =

说明：在已知条件等式的值问题中，把已知条件变形转化后，通过整体代入值，可避免由局部运算所带来的麻烦.

十、倒数法

例2已知a+ =5.则 =__________.

分析：若先出a的值再代入值，显然现在解不出.如果将的分子、分母颠倒过来，即 =a2+1+ 的值，再进一步原式的值就简单很多.

解：因为a+ =5,

所以（a+ ）2=25,a2+ =23.

所以 =a2+1+ =24,

所以 =

分式方程如何运算

一，内容综述：

1.解分式方程的基本思想

在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程＂转化＂为整式方程.即

分式方程整式方程

2.解分式方程的基本方法

(1)去分母法

去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程.但要注意，可能会产生增根.所以，必须验根.

产生增根的原因：

当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理（方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解），这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解.

检验根的方法：

将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等.

为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根.必须舍去.

注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公

分母为0.

用去分母法解分式方程的一般步骤：

(i)去分母，将分式方程转化为整式方程；

(ii)解所得的整式方程；

(iii)验根做答

(2)换元法

为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化解过程.

用换元法解分式方程的一般步骤：

(i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数

式；

(ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，出辅助未知数的值；

(iii)把辅助未知数的值代回原设中，出原未知数的值；

(iv)检验做答.

注意：（1）换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法.它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程.

(2)分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法.

(3)无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤.

希望能帮到你，祝你学习进步！

怎样计算初中分式！

1.约分：把一个分式的分子和分母的公因式（不为1的数）约去，这种变形称为约分。 2.分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置（除数的倒数）后再与被除式相乘。 3. 分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 4.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。如：3/2和2/3可化为9/6和4/6.即：3*3/2*3,2*2/3*2! 5.异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。 1.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：A/B=A*C/B*C A/B=A÷C/B÷C(A,B,C为整式，且B、C≠0) 2.约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。 3.分式的约分步骤：

（1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。

（2）分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去. 注：公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。 4.最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式. 5.通分：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分。 6.分式的通分步骤：先出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母。同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子. 注：最简公分母的确定方法：系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积。注：

（1）约分和通分的依据都是分式的基本性质

（2）分式的约分和通分都是互逆运算过程。