伯努利方程的原理和应用

[列方程解应用题]设X年前（48-X）÷（21-X）=4 3X=36 X=12 设初中原计划捐X 高中3000-X X*(1+20%)+(3000-X)*(1+30%)=3780 X=1200 则高中3000-1200=1800 设静水速度X 4X-4*2=5X+5*2 X=2 设X制瓶身，15...+阅读

伯努利方程的原理和应用

理想正压流体在有势体积力作用下作定常运动时，运动方程（即欧拉方程）沿流线积分而得到的表达运动流体机械能守恒的方程。因著名的瑞士科学家D.伯努利于1738年提出而得名。对于重力场中的不可压缩均质流体，方程为p+ρgh+(1/2)*ρv^2=c 式中p、ρ、v分别为流体的压强、密度和速度；h为铅垂高度；g为重力加速度；c为常量。上式各项分别表示单位体积流体的压力能 p、重力势能ρgh和动能（1/2）*ρv ^2，在沿流线运动过程中，总和保持不变，即总能量守恒。但各流线之间总能量（即上式中的常量值）可能不同。对于气体，可忽略重力，方程简化为p+(1/2)*ρv ^2=常量（p0），各项分别称为静压、动压和总压。显然，流动中速度增大，压强就减小；速度减小，压强就增大；速度降为零，压强就达到最大（理论上应等于总压）。

飞机机翼产生举力，就在于下翼面速度低而压强大，上翼面速度高而压强小，因而合力向上。

伯努利原理是怎么回事

丹尼尔·伯努利在1726年首先提出时的内容就是：在水流或气流里，如果速度小，压强就大，如果速度大，压强就小。

应用举例⒈

飞机为什么能够飞上天？因为机翼受到向上的升力。飞机飞行时机翼周围空气的流线分布是指机翼横截面的形状上下不对称，机翼上方的流线密，流速大，下方的流线疏，流速小。由伯努利方程可知，机翼上方的压强小，下方的压强大。这样就产生了作用在机翼上的方向的升力。

应用举例⒉

喷雾器是利用流速大、压强小的原理制成的。让空气从小孔迅速流出，小孔附近的压强小，容器里液面上的空气压强大，液体就沿小孔下边的细管升上来，从细管的上口流出后，空气流的冲击，被喷成雾状。

应用举例⒊

汽油发动机的汽化器，与喷雾器的原理相同。汽化器是向汽缸里供给燃料与空气的混合物的装置，构造原理是指当汽缸里的活塞做吸气冲程时，空气被吸入管内，在流经管的狭窄部分时流速大，压强小，汽油就从安装在狭窄部分的喷嘴流出，被喷成雾状，形成油气混合物进入汽缸。

应用举例⒋

球类比赛中的＂旋转球＂具有很大的威力。旋转球和不转球的飞行轨迹不同，是因为球的周围空气流动情况不同造成的。不转球水平向左运动时周围空气的流线。球的上方和下方流线对称，流速相同，上下不产生压强差。现在考虑球的旋转，转动轴通过球心且垂直于纸面，球逆时针旋转。球旋转时会带动周围得空气跟着它一起旋转，至使球的下方空气的流速增大，上方的流速减小，球下方的流速大，压强小，上方的流速小，压强大。跟不转球相比，旋转球因为旋转而受到向下的力，飞行轨迹要向下弯曲。

应用举例⒌

表示乒乓球的上旋球，转动轴垂直于球飞行的方向且与台面平行，球向逆时针方向旋转。在相同的条件下，上旋球比不转球的飞行弧度要低下旋球正好相反，球要向反方向旋转，受到向上的力，比不转球的飞行弧度要高。

伯努利方程原理

伯努利方程设在右图的细管中有理想流体在做定常流动，且流动方向从左向右，我们在管的a1处和a2处用横截面截出一段流体，即a1处和a2处之间的流体，作为研究对象.设a1处的横截面积为S1，流速为V1，高度为h1;a2处的横截面积为S2，流速为V2，高度为h2. 思考下列问题： ①a1处左边的流体对研究对象的压力F1的大小及方向如何 ②a2处右边的液体对研究对象的压力F2的大小及方向如何 ③设经过一段时间Δt后（Δt很小），这段流体的左端S1由a1移到b1，右端S2由a2移到b2，两端移动的距离分别为ΔL1和ΔL2，则左端流入的流体体积和右端流出的液体体积各为多大它们之间有什么关系为什么 ④求左右两端的力对所选研究对象做的功 ⑤研究对象机械能是否发生变化为什么 ⑥液体在流动过程中，外力要对它做功，结合功能关系，外力所做的功与流体的机械能变化间有什么关系推导过程：如图所示，经过很短的时间Δt，这段流体的左端S1由a1移到b1，右端S2由a2移到b2，两端移动的距离为ΔL1和ΔL2，左端流入的流体体积为ΔV1=S1ΔL1，右端流出的体积为ΔV2=S2ΔL2. 因为理想流体是不可压缩的，所以有 ΔV1=ΔV2=ΔV 作用于左端的力F1=p1S2对流体做的功为 W1=F1ΔL1 =p1·S1ΔL1=p1ΔV 贝努利方程静压能与动能的转化公式：1/2*u^2=ΔP/ρ ΔP=P2-P1;P1=0.1MPa（大气压） ρ为水的密度1000kg/m3。

u为速度，m/s ΔP=1/2*ρ*u^2 P2=0.1*1000000+1/2*ρ*u^2 (Pa) 关于量纲： [kg/m^3*(m/s)^2]=[kg/(m*s^2)] 记得牛顿第二定律F=m*a吗？N=kg*m/s^2，代入上式 =N/m^2=Pa 作用于右端的力F2=p2S2，它对流体做负功（因为右边对这段流体的作用力向左，而这段流体的位移向右），所做的功为 W2=-F2ΔL2=-p2S2ΔL2=-p2ΔV 两侧外力对所选研究液体所做的总功为 W=W1+W2=(p1-p2)ΔV 又因为我们研究的是理想流体的定常流动，流体的密度ρ和各点的流速V没有改变，所以研究对象（初态是a1到a2之间的流体，末态是b1到b2之间的流体）的动能和重力势能都没有改变.这样，机械能的改变就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能，即 E2-E1=ρ（）ΔV+ρg(h2-h1)ΔV 又理想流体没有粘滞性，流体在流动中机械能不会转化为内能 ∴W=E2-E1 (p1-p2)ΔV=ρ（-））ΔV+ρg(h2-h1)ΔV 整理后得：整理后得：又a1和a2是在流体中任取的，所以上式可表述为上述两式就是伯努利方程. 当流体水平流动时，或者高度的影响不显著时，伯努利方程可表达为该式的含义是：在流体的流动中，压强跟流速有关，流速V大的地方压强p小，流速V小的地方压强p大.