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所证不等式 [sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)]^2≤[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2。

(1) 设s,R,r分别表示△ABC的半周长，外接圆和内切圆半径。 根据三角形恒等式： [sin(A/2)]^2+[sin(B/2)]^2+[sin(C/2)]^2=(2R-r)/(2R); [cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2=(4R+r)/(2R)。 不等式

（1）等价于 [sin(B/2)+sin(C/2)]^2+[sin(C/2)+sin(A/2)]^2+[sin(A/2)+sin(B/2)]^2≤3

(2) sin(B/2)*sin(C/2)+sin(C/2)*sin(A/2)+sin(A/2)*sin(B/2)= 4sin(B/2)*sin(C/2)≥2[sin(B/2)+sin(C/2)]-1 于是有 1+4sin(A/2)*sin(B/2*sin(C/2)≥2sin(A/2)*[sin(B/2)+sin(C/2)]+1-sin(A/2) 因为sin(B/2)*sin(C/2) 在B/2=C/2=(180°-A)/4时取得极大值，故有 2sin(B/2)*sin(C/2)≤2[sin(180°-A)/4]^2=[1-sin(A/2)]。 因此 1+4sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)≥2T 由三角形三角恒等式： cosA+cosB+cosC=1+4sin(A/2)+*sin(B/2)*sin(C/2) =[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2-[sin(A/2)]^2-[sin(B/2)]^2-[sin(C/2)]^2 即得不等式

（1）。 。

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