函数的奇偶性周期性

[麻烦帮总结下奇偶函数的加减乘除分别得什么奇偶性的函数]在保证定义域关于原点对称的情况下：如下成立！奇函数±奇函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数奇函数*偶函数=奇函数奇函数*奇函数=偶函数偶函数*偶函数=偶函数在保证分母不...+阅读

一、函数的奇偶性 1.定义：对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)为奇函数；对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)为偶函数； 2.性质：

（1）函数依据奇偶性分类可分为：奇函数非偶函数，偶函数非奇函数，既奇且偶函数，非奇非偶函数；

（2） f(x),g(x)的定义域为D;

(3)图象特点：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于原点对称；

（4）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件，奇函数f(x)在原点处有定义，则有f(0)=0;

(5)任意一个定义域关于原点对称的函数f(x)总可以表示为一个奇函数与偶函数的和的形式：f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=-[f(x)+f(-x)]为偶函数，h(x)=-[f(x)-f(-x)]为奇函数；

（6）奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性。

3.判断方法：

（1）定义法

（2）等价形式：f(-x)+f(x)=0,f(x)为奇函数； f(-x)-f(x)=0,f(x)为偶函数。 4.拓展延伸：

（1）一般地，对于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x，都有f(a+x)=2b-f(a-x)，则y=f(x)的图象关于点（a,b）成中心对称；

（2）一般地，对于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x都有f(a+x)=f(a-x)，则它的图象关于x=a成轴对称。

二、周期性： 1.定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当自变量x取定义域内的每一个值时，都有f(x)=f(x+T)成立，那么就称函数y=f(x)为周期函数。 2.图象特点：将函数y=f(x)的图象向左（右）平移的整数倍个单位，所得的函数图象与函数y=f(x)的图象重合。 3.函数图象的对称性与周期性的关系：

（1）若对于函数y=f(x)定义域内任意一个x都有f(a+x)=f(a-x)且f(b+x)=f(b-x),(a、b不相等的常数)则函数为周期函数。

（周期为：2|a-b|）

(2)若对于函数y=f(x)定义域内任意一个x都有f(a+x)=-f(a-x)且f(b+x)=-f(b-x),(a、b不相等的常数)则函数为周期函数。（周期为：2|a-b|）

(3)若对于函数y=f(x)定义域内任意一个x都有f(a+x)=-f(a-x)且f(b+x)=f(b-x),(a、b不相等的常数)则函数为周期函数。（周期为：4|a-b|）典型例题例1：判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x)=(x-1)·■ 解：函数的定义域为x∈{x|-1≤x0时f(x)=x|x-2| 求x0 -，说明：1.利用函数的奇偶性求解析式，要将自变量x设在所求的范围内。

2.转化带入利用定义构造方程。

（2）定义在R上的奇函数f(x)且满足f(3+x)=f(3-x)，若x∈（0,3）,f(x)=2x 求：当x∈（-6,-3）时，f(x)的解析式。解：x∈（-6,-3） -x∈（3,6）,6-(-x)∈（0,3） - ∴f(x)=-2x+6 说明：1.合理分解题意是关键。 2.此题还可以应用周期性进行求解。例3：已知：函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x)

(1)求证：f(x)为周期函数；

（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=-x，求使得f(x)=--的所有x。

(1)解：- ∴f(x)=f(x+4) f(x)为周期是4的周期函数。

（2）解：x∈[-1,0],-x∈[0,1] - ∴f(x)=-x,x∈[-1,0] ∴f(x)=-x,x∈[-1,1] x∈（1,3），∴-1 - ∴f(x)=--(x-2),x∈[1,3] - x∈[-1,3),f(x)=--,x=-1 ∴x=4n-1,n∈Z