基础性题目的变式练习探究

[留给学生探究空间，体验创新学习乐趣]随着《数学课程标准》的实施，给数学教学注入了新的血液，也给我们数学教师提出了新的思考与挑战，一问到底、一讲到底的旧模式以不能适应新课程，那么新理念下的教师要为学生留下什...+阅读

教师在讲评例题时，往往局限于就题讲题，学生对相关知识点的掌握和知识的迁移却不能兼顾，从而导致教学效果较差。如果教师在讲授的时候能够触类旁通，对原有例题、习题进行变式，即对原题条件、问题等进行变换，就能起到举一反三和事半功倍的效果。

下面是我就一元一次方程的应用题工程类的一道题目进行的变式练习探究：

例题：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。那么两人合作多少小时完成?

分析：本题是一个典型的工程类应用题

(一)、工程问题中三个基本量是：

1.工作量、工作时间、工作效率;

2.这三个基本量的关系是：

工作量=工作时间工作效率

工作效率=工作量工作时间

工作时间=工作量工作效率

3.工作总量通常看作单位1

(二)、相等关系：

甲单独做20小时完成的工作量+乙单独做12小时完成的工作量=完成的工作总量

解：设两人合作x小时完成此工作，依题意可得：

x/20+x/12=1

解之得：x=7.5

答：两人合作7.5小时完成。

变式一：

一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成?

分析1：此工作分两步完成的，故有相等关系：

甲先单独完成的工作量+两人合作完成的工作量=完成的工作总量

解法一：设两人合作还需x小时完成此工作，依题意可得：

4/20+(1/20+1/12)x=1

解之得：x=6

答：两人合作还要6小时完成。

分析2：此工作由甲、乙两人完成的，故有相等关系：

甲共完成的工作量+乙完成的工作量=完成的工作总量

解法二：设两人合作还需x小时完成此工作，依题意可得：

(4+x)/20+x/12=1

解之得：x=6

答：两人合作还要6小时完成。

变式二：

一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成此工作的2/3?

分析;本题目在前者的基础上仅改变了完成的工作总量，故由此易建立方程：

4/20+(1/20+1/12)x=2/3

解法：略

变式三：

一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么共要多少小时完成此工作的2/3?

分析：本题目在前者的基础上改变了未知量，弄清问题中是总的时间，要特别注意。相等关系：

甲共完成的工作量+乙完成的工作量=完成的工作总量

解：设共需x小时完成此工作，依题意可得：

x/20+(x-4)/12=2/3

解之得：x=7.5

答：共要7.5小时完成此工作的2/3。

变式四：

一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做7.5小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成?

分析：本题目在例题的基础上改变了已知量，容易得到甲的工作效率、两人合作的工作效率。相等关系：

甲先单独完成的工作量+两人合作完成的工作量=完成的工作总量

解：设两人合作还需x小时完成此工作，依题意可得：

4/20+x/7.5=1

解之得：x=6

答：两人合作还要6小时完成。

变式五：

一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做7.5小时完成。甲先单独做4小时，余下的乙单独做，那么乙还要多少小时完成?

分析：本题目在例题的基础上改变了已知量，容易得到甲的工作效率、两人合作的工作效率。但还要求出乙的工作效率：1/7.5-1/20

相等关系：

甲先单独完成的工作量+ 乙单独完成的工作量=完成的工作总量

解：设乙还需x小时完成此工作，依题意可得：

4/20+(1/7.5-1/20)x=1

解之得：x=9.6

答：乙还要9小时36分完成。

变式六：

一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做3小时完成此工作的2/5。现在甲先单独做4小时，然后乙加入合做2小时后，甲因故离开，余下的部分由乙单独完成，那么共用多少小时完成此项工作?

分析：此题涉及到前面几个题目中的变化，且完成方式更为复杂化。但明确等量关系仍然不变：

(1)此工作分三步完成的，故有：甲先单独完成的工作量+两人合作完成的工作量+乙单独完成的工作量=完成的工作总量

(2)此工作由甲乙二人完成的，故有：甲共完成的工作量+乙共完成的工作量=完成的工作总量

类比前面变式练习便可解出此题：

解法1：设共需x小时完成此工作，依题意可得：

4/20+2(2/53)+(x-4-2)(2/53-1/20)=1

解之得：x=12.4

答：共要12小时24分钟完成此工作。

解法2：设共需x小时完成此工作，依题意可得：

(4+2)/20+(x-4)(2/53-1/20)=1

解之得：x=12.4

答：共要12小时24分钟完成此工作。

反思：通过设计变式练习，可以脱离就题论题的模式，让学生从题海中逃匿，很轻松地就能理解此类题目，且能达到举一反三之功效。同时通过问题的循序渐进、由简到繁，让学生明确题目的演变过程，揭开了综合性较强的题目的神秘面纱，从而形成析问题，抓本质的习惯，增强战胜困难的信心和智慧。

基础性题目的变式练习探究