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如何证明派是无理数

01月31日 编辑 fanwen51.com

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假设∏是有理数,则∏=a/b,(a,b为自然数)

令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)

若0

0

0

以上两式相乘得:

0

当n充分大时,,在[0,∏]区间上的积分有

0<;∫f(x)sinxdx <;[∏^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………(1)

又令:F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶数阶导数)

由于n!f(x)是x的整系数多项式,且各项的次数都不小于n,故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数,因此,F(x)和F(∏)也都是整数。

又因为

d[F'(x)sinx-F(x)conx]/dx

=F"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx

=F"(x)sinx+F(x)sinx

=f(x)sinx

所以有:

∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx],(此处上限为∏,下限为0)

=F(∏)+F(0)

上式表示∫f(x)sinxdx在[0,∏]区间上的积分为整数,这与(1)式矛盾。所以∏不是有理数,又它是实数,故∏是无理数

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