求微积分中的公式

[求初中数学所有公式]三角形两边的和大于第三边三角形两边的差小于第三边三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角在角的平分线上的点到...+阅读

一元微分

[编辑本段]

定义：设函数y = f(x)在某区间内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为 Δy = AΔx0 + o（Δx0）（其中A是不依赖于Δx的常数），而o（Δx0）是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。

通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。

同理，当自变量为多个时，可得出多元微分得定义。

积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。

一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。

其中：[F(x) + C]' = f(x)

一个实变函数在区间[a,b]上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。

一阶微分与高阶微分

函数一阶导数对应的微分称为一阶微分；

一阶微分的微分称为二阶微分；

.......

n阶微分的微分称为（n+1）阶微分

即：d(n)y=f(n)(x)*dx^n (f(n)(x)指n阶导数，d(n)y指n阶微分，dx^n指dx的n次方）

微积分基本公式

由F(x)=∫（a,g(x))f(t)dt得F'(x)=f(g(x))*g'(x) 所以Φ'（x）=(x^2-1)*e^(-x^2)*2x=(2x^3-2x)*e^(-x^2) 令Φ'（x）=0，则（2x^3-2x）*e^(-x^2)=0，即x^3-x=0，解得：x1=0,x2=1,x3=-1 设f(t)=t^3-t，则令f'(t)=3t^2-1=0解得：t1=√3/3,t2=-√3/3 当t∈（-∞，-√3/3）时，f(t)单调递增，当t∈（-√3/3，√3/3）时，f(t)单调递减，当t∈（√3/3，+∞）时，f(t)单调递增，所以当x∈（-∞，-1）时，x^3-x<0；当x∈（-1,0）时，x^3-x>0；当x∈（0,1）时，x^3-x<0；当x∈（1，+∞）时，x^3-x>0. 于是当x∈（-∞，-1）时，Φ'（x）<0；当x∈（-1,0）时Φ'（x）>0；当x∈（0,1）时，Φ'（x）<0；当x∈（1，+∞）时，Φ'（x）>0. 所以x1=0是Φ（x）的极大值点，x2=

1、x3=-1是Φ（x）的极小值点。极大值Φ（0）=∫（0,0）(t-1)e^(-t)dt=0，极小值Φ

（1）=∫（0,1）(t-1)e^(-t)dt=-1*e^(-1)=-1/e，极小值Φ（-1）=∫（0,1）(t-1)e^(-t)dt=-1*e^(-1)=-1/e.

微积分公式

Dx sin x=cos x cos x = -sin x tan x = sec2 x cot x = -csc2 x sec x = sec x tan x csc x = -csc x cot x x ±1 Dx sin-1 ( )= 2 a a x2 x cos ( )= a -1 ∫ sin x dx = -cos x + C ∫ cos x dx = sin x + C ∫ tan x dx = ln |sec x | + C ∫ cot x dx = ln |sin x | + C ∫ sec x dx = ln |sec x + tan x | + C ∫ csc x dx = ln |csc x – cot x | + C ∫ sin-1 x dx = x sin-1 x+ 1 x 2 +C ∫ cos-1 x dx = x cos-1 x- 1 x 2 +C ∫ tan x dx = x tan x-ln (1+x )+C -1 -1 2 sin-1(-x) = -sin-1 x cos-1(-x) = π - cos-1 x tan-1(-x) = -tan-1 x cot-1(-x) = π - cot-1 x sec-1(-x) = π - sec-1 x csc-1(-x) = - csc-1 x x sinh-1 ( )= ln (x+ a 2 + x 2 ) x ∈ R a x cosh-1 ( )=ln (x+ x 2 a 2 ) x≥1 a x 1 a+x tanh-1 ( )= ln ( ) |x|1 a 2a xa ∫ csc x dx = x csc x+ ln |x+ x 1 |+C sech-1( 1 x2 x 1 )=ln( + )0≤x≤1 x2 a x x ±a sec ( )= a x x2 a2 -1 csc-1 (x/a)= Dx sinh x = cosh x cosh x = sinh x 2 ∫ sinh x dx = cosh x + C 1 + x2 x 1 )=ln( + ) |x| >0 x2 a x duv = udv + vdu csch-1 （ ∫ cosh x dx = sinh x + C tanh x = sech x ∫ tanh x dx = ln | cosh x |+ C 2 coth x = -csch x ∫ coth x dx = ln | sinh x | + C sech x = -sech x tanh x ∫ sech x dx = -2tan-1 (e-x) + C csch x = -csch x coth x 1 + e x ∫ csch x dx = 2 ln | |+C 1 e 2 x x 1 Dx sinh-1（ )= ∫ sinh-1 x dx = x sinh-1 x- 1 + x 2 + C a a2 + x2 x cosh-1( )= a -1 ∫ duv = uv = ∫ udv + ∫ vdu →∫ udv = uv - ∫ vdu cos2θ-sin2θ=cos2θ cos2θ+ sin2θ=1 cosh2θ-sinh2θ=1 cosh2θ+sinh2θ=cosh2θ sin 3θ=3sinθ-4sin3θ cos3θ=4cos3θ-3cosθ 1 x2 a2 ∫ cosh x dx = x cosh x- x 1 + C -1 -1 2 →sin3θ= （3sinθ-sin3θ） →cos3θ=（3cosθ+cos3θ） x ±a tanh ( )= 2 a a x2 -1 ∫ tanh-1 x dx = x tanh-1 x+ ln | 1-x2|+ C e jx e jx e jx + e jx sin x = cos x = 2j 2 ∫ coth-1 x dx = x coth-1 x- ln | 1-x2|+ C e x e x e x + ex cosh x = 2 2 a b c 正弦定理： = = =2R sin α sin β sin γ sinh x = ∫ sech-1 x dx = x sech-1 x- sin-1 x + C x coth ( )= a ∫ csch-1 x dx = x csch-1 x+ sinh-1 x + C x a γ sech-1( )= a a x a2 x2 R b csch-1(x/a)= a β α x a2 + x2 c 余弦定理： a2=b2+c2-2bc cosα b2=a2+c2-2ac cosβ c2=a2+b2-2ab cosγ sin （α±β）=sin α cos β ± cos α sin β cos （α±β）=cos α cos β m sin α sin β 2 sin α cos β = sin （α+β） + sin （α-β） 2 cos α sin β = sin （α+β） - sin （α-β） 2 cos α cos β = cos （α-β） + cos （α+β） 2 sin α sin β = cos （α-β） - cos （α+β） ex=1+x+ x2 x3 xn +… + +…+ 2! 3! n! x x x ( 1) x + - +…+ +… 3! 5! 7! ( 2n + 1)! 3 5 7 sin α + sin β = 2 sin （α+β） cos （α-β） sin α - sin β = 2 cos （α+β） sin （α-β） cos α + cos β = 2 cos （α+β） cos （α-β） cos α - cos β = -2 sin （α+β） sin （α-β） tan （α±β）= tan α ± tan β m cot α cot β ， cot （α±β）= m tan α tan β cot α ± cot β ∑1= n i =1 n n n 2 n +1 sin x = xcos x = 1- ∑i = i =1 n n (n+1) 1 n (n+1)(2n+1) 6 x2 x4 x6 ( 1) n x 2 n + +…+ +… 2! 4! 6! (2n )! x x x ( 1) x + - +…+ +… 2 3 4 (n + 1)! 2 3 4 n 3 5 7 n 2 n +1 n +1 ∑i i =1 n 2 = ln (1+x) = xtan-1 x = x- ∑i i =1 3 = [n (n+1)]2 x-1 -t 2x-1 t ∫ t e dt = 2 ∫ t e dt = 2 x x x ( 1) x + - +…+ +… 3 5 7 ( 2n + 1) Γ（x） = ∞ ∞ 0 0 ∫ ∞ 0 1 (ln ) x-1 dt t (1+x)r =1+rx+ π 1 r ( r 1) 2 r ( r 1)( r 2) 3 x+ x +… -1