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比较难的数学题高中水平

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(1)因为x1>0, x2>0且f(x1)f(x2)=1

所以x1x2>0

所以x1^2/(2x1+1) * x2^2/(2x+1)=1

x1^2 x2^2=(2x1+1)(2x2+1)

=4x1x2+2x1+2x2+1>=4x1x2+2(2根号（x1x2）)+1

=(2根号（x1x2）+1)^2

所以x1x2>=2根号（x1x2）+1

根号（x1x2）>=1+根号2

所以x1x2>=(1+根号2)^2=3+2根号召

(2)方法用数学归纳法：

由题知a1=1,an+1=an^2/(2an+1)

则a2=1^2/(2*1+1)=1/3=1/(1*3)=1/(4-1)=1/(2^2-1)

a3=(1/3)^2/(2*(1/3)+1)=1/15=1/(3*5)=1/(16-1)=1/(2^4-1)

a4=(1/15)^2/(2*(1/15)+1)=1/(15*17)=1/(2^8-1)

猜想an=1/(2^2^(n-1)-1)

用数学归纳法证明：

当n=1时a1=1/(2^1-1)=1显然成立，

假设当n=k时成立，那么ak=1/(2^2^(k-1)-1)

则ak+1=ak^2/(2ak+1)

=[1/(2^2^(k-1)-1)]^2/(2*(2^2^(k-1)-1)+1)

=1/[(2^2^(k-1)-1)*(2+(2^2^(k-1)-1)]

=1/[(2^2^(k-1)-1)*(2^2^(k-1)+1)]

=1/[(2^2^(k-1))^2-1]

=1/[2^(2^(k-1)*2)-1]

=1/[2^2^(k+1-1)-1]

所以当n=k+1时猜想也成立。

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