一次函数知识体系

[一次函数重点知识]定义：如果y=kx+b(k、b是常数且k不等于0)，那么y叫做x的一次函数。二、一次函数的两个特征：（1）自变量x的指数为1 ;(2)k不等于0 ；（更特别的是：当b=0时，一次函数y=kx+b变为y=kx 这里k是常...+阅读

函数的基本概念：一般地，在某一变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个X值，有唯一确定的Y值与之对应，那么我们称Y是X的函数（function）.

定义与定义式

自变量x和因变量y有如下关系：

y=kx+b (k为任意不为零实数，b为任意实数)

则此时称y是x的一次函数。

特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx (k为任意不为零实数)

一次函数的性质

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)

2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

一次函数的图像及性质

1.作法与图形：通过如下3个步骤

(1)列表[一般取两个点，根据两点确定一条直线]；

(2)描点；

(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）

2.性质：（1）在一次函数上的任意一点P(x,y)，都满足等式：y=kx+b(k≠0)。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是（0,b），与x轴总是交于（-b/k,0）正比例函数的图像总是过原点。

3.函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。

4.k,b与函数图像所在象限：

当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k当b>0时，直线必通过一、二象限；

当b=0时，直线必通过原点。

当b

y=kx+b时：

当 k>0,b>0，这时此函数的图象经过一，二，三象限。

当 k>0,b当 k当 k0，这时此函数的图象经过一，二，四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限；当k4、特殊位置关系

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等

当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）

确定一次函数的表达式

已知点A(x1,y1);B(x2,y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。

(1)设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

(2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②

(3)解这个二元一次方程，得到k,b的值。

(4)最后得到一次函数的表达式。

一次函数在生活中的应用

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

常用公式（不全，希望有人补充）

1.求函数图像的k值：（y1-y2）/(x1-x2)

2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2

3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2

4.求任意线段的长：√（x1-x2）^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2）与（y1-y2）的平方和）

5.求两一次函数式图像交点坐标：解两函数式

两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式得到y=y0 则（x0,y0）即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标

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一. 变量与常量 1）在某一个变化过程中，取同一数值的量叫做常量。在某一个变化过程中，取不同的数值的量叫做变量。 2）在某一个变化过程中，有两个变量：x和y，当x取每一个值时，y对应地取唯一的一个值，此时，y叫做x的函数，也叫做“应变量”，x叫做“自变量”。（函数在等式左面，右面式子中含有自变量。） 3）函数关系式用来表示函数关系的式子就叫做“函数关系式”，也叫做函数的解析式。特点：1.是等式。 2.左侧是函数（因变量），右侧是自变量的代数式。 4）函数自变量的取值范围 1.式子需有意义。 2.表示实际问题实有实际意义。 3.函数值即自变量对应函数的值。 5）同一个函数：自变量和因变量的取值范围分别完全相同的两个函数叫做“同一个函数”。二.函数的图像 1）绘图步骤： 1.列表 2.描点 3.连线 4.注明关系式 2）如果一个点在某个函数的图像上，那么这一点的横、纵坐标一定满足这个函数的解析式，反之则不在。三.正比例函数 1）一般地，形如：y=kx(k为常数且k≠0)叫做“正比例函数”，其中k叫做比例系数。 2）为什么k≠0？因为如果k=0，则不论x为何值，y都不变，是常量。不符合“函数有两个变量”。所以k=0不成立。 3）函数的增减性当k>0时，图像经过第

一、第三象限，随着x的增大，y相应增大。当k0时，y随着x的增大而增大。当k0,b>0时，函数图像经过第

一、

二、三象限。 2.当k>0,b=0时，函数图像经过第

一、三象限，及原点 3.当k>0,b0时，函数图像经过第

一、

二、四象限。 5.当k